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Mathematischer
Hintergrund
Ganzrationale Funktionen aus gegebenen Bedingungen II
Ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08

1. Der Punkt P( 0 | f(0) ) liegt auf dem Graphen der Funktion f(x).
Durch Spiegelung an W( 1 | 1,5 ) geht P in den Punkt Q über. Bestimmen Sie die Koordinaten von Q und zeigen Sie, dass Q auf dem Graphen von f(x) liegt.
Welche Bedeutung hat dieses Ergebnis?
01
  Ausführliche Lösung
  01_l
Die Koordinate von Q wird graphisch ermittelt. Sie lässt sich aus dem Koordinatensystem zu Q( 2 | 1 ) ablesen. Ein Blick auf die Wertetabelle bestätigt, dass Q auf dem Graphen liegt. Das Ergebnis bedeutet:
Der Graph von f(x) ist punktsymmetrisch zum Punkt W
01_des_l

2. Wodurch unterscheiden sich die Graphen von f(x), g(x) und h(x) ?
02
  Ausführliche Lösung
  02_l
g(x) entsteht aus f(x) durch Stauchung in y- Richtung um den Faktor 0,25.
h(x) entsteht aus g(x) durch Verschiebung in y- Richtung um 0,25 LE.

3. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung. Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten des Funktionsterms erfüllen, damit der Graph drei Schnittpunkte mit der x- Achse hat? Gibt es eine solche Funktion auch mit zwei Nullstellen?
  Ausführliche Lösung
  03_l
Die Vorzeichen von a3 und a1 müssen unterschiedlich sein. Eine solche Funktion mit zwei Nullstellen kann es nicht geben, da bei einer Symmetrie zum Ursprung (Punktsymmetrie) auch die Nullstellen symmetrisch zum Ursprung wären. Das wären dann insgesamt drei Nullstellen.

4. Eine ganzrationale Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte P1 und P2 und berührt die x- Achse im Ursprung. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Wie entsteht f(x) aus dem Graphen der Funktion g(x)?
Daten:
04
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  04_l 04_mc_l

5. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat in Px1( -2 | 0 ) einen Sattelpunkt und verläuft durch P( -4 | 6 ).
Bestimmen Sie den Funktionsterm und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
  05_l 05_mc_l

6. Gegeben ist der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
  a) 06a_mc b) 06b_mc
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  a) 06a_l
  b) 06b_l
Eine weitaus aufwendigere Methode wäre es gewesen, mit den Koordinatenvon 4 aus dem Graphen abgelesenen Punkten ein Gleichungssystem aufzustellen und dieses mit dem Gauß- Algorithmus zu lösen.

7. 07
  Ausführliche Lösung
  07_l

8. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch und schneidet die x - Achse in x = 3.
  a) Welche Beziehung besteht zwischen den Koeffizienten?
  b) 08b
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  a) 08a_l
  b) 08b_l