Lösungen Hypothesentest II Casio fx-CG50• 123mathe

Hier findest du die Lösungen zum Hypothesentest II mit dem GTR, also grafikfähigen Taschenrechner Casio fx-CG50 und Casio fx-CG20. Abweichungen der Ergebnissen sind entstanden, weil ich die Originalaufgaben mit Tabellenwerten entsprechender Binomialverteilungen, bzw. mit Näherungswerten der Normalverteilung berechnet habe.

Hypothesentest Lösungen GTR Casio fx-CG20

Hier findest du eine Einführung in den Casio fx-CG20 und Casio fx-CG 50.

Update auf Casio fx-CG50

Wer noch den Casio fx-CG20 hat, kann sich auf der Webseite der Firma ein kostenloses Update herunterladen. Dann kannst du auch die neuen Funktionen des Casio fx-CG50 nutzen. Suche dazu auf der Seite von Casio nach ‚FX-CG20 & FX-CG50 Betriebssystem-Update‘. Ich gebe hier jedoch nicht den direkten Link ein, weil es in der Zwischenzeit vielleicht bereits ein neueres Update gibt.

Aufgabe 1.1. Ausführliche Lösung

Nullhypothese: H₀: p = 0,3 Alternativhypothese: H₁: p ≠ 0,3
Signifikanzniveau: α ≤ 10%.
Fehler 2. Art für p = 0,2 ermitteln.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 170 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest, denn kleine, wie auch große Werte von k sprechen gegen H₀.
Da es zwei Ablehnungsbereiche gibt, wird hier die Vereinbarung getroffen, dass diese sich symmetrisch zum Erwartungswert 51 positionieren.

Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.

Ablehnungs- und Annahmebereich sehen dann wie folgt aus:
{ 0 … 40 } { 41 …. 51 … 61 } { 62 … 170 }

Fällt die Anzahl k der Erfolge in einen der beiden Ablehnungsbereiche, wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 7,83%.

Eingabeprozedur:

Aufgabe 1.2 Ausführliche Lösung

Falls H₀ nicht gilt, sondern p = 0,2 richtig ist, d.h. die Hypothese p = 0,3 ist falsch, aber das Stichprobenergebnis fällt zufällig in den Annahmebereich von H₀ , nimmt man H₀ fälschlicherweise an.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Fehler zu machen ist der Fehler 2. Art.
Man bestimmt diesen Fehler, indem man unter der Annahme, dass p = 0,2 richtig ist, die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs von H₀ berechnet.

Falls H₀ falsch und p = 0,2 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 10,7% in den Annahmebereich von H₀.
Die Nullhypothese würde fälschlicherweise angenommen werden.
Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art.
Er beträgt 10,7% und ist im Vergleich zum Fehler 1. Art mit 7,83% vergleichbar groß.

Eingabeprozedur:

Aufgabe 2.1. Ausführliche Lösung

Bei einem Erhebungsumfang von n = 300 verzeichnet man k Erfolge.
Verschiedene Interessen erfordern unterschiedliche Hypothesentests des selben Objektes.
Nullhypothese: H₀: p ≤ 0,05 Alternativhypothese: H₁: p > 0,05
Nullhypothese: H₀: p ≥ 0,05 Alternativhypothese: H₁: p < 0,05
Signifikanzniveau in beiden Fällen: α ≤ 5%.
Es ist jeweils ein rechts – bzw. linksseitiger Test durchzuführen.

Rechtsseitiger Test:
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.

Bei einer Anzahl von k = 22 oder mehr Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 4,85%.

Eingabeprozedur:

Aufgabe 2.2. Ausführliche Lösung

Bei einem Erhebungsumfang von n = 300 verzeichnet man k Erfolge.
Nullhypothese: H₀: p ≥ 0,05 Alternativhypothese: H₁: p < 0,05
Signifikanzniveau: α ≤ 5%.

Linksseitiger Test:
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.

Bei einer Anzahl von k = 8 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 3,4%.

Eingabeprozedur:

Aufgabe 2.3. Lösung

Gegenüberstellung von linksseitigem und rechtsseitigem Hypothesentest

Rechtsseitiger Test:
Fehler 1. Art 4,85%
Bei mehr als 21 Erfolgen wird H₀ abgelehnt.

Linkssseitiger Test:
Fehler 1. Art 3,4%
Bei weniger als 9 Erfolgen wird H₀ abgelehnt.

Aufgabe 3. Ausführliche Lösung

Nullhypothese: H₀: p ≥ 0,15 Alternativhypothese: H₁: p < 0,15
Signifikanzniveau: α ≤ 5%.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 140 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest, denn kleine Werte von k sprechen gegen H₀.
Wie ändert sich der Fehler 1. Art, wenn k = 19 als untere Grenze des Annahmebereichs von H₀ eingesetzt wird?

Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.

Bei einer Anzahl von k = 13 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 3,22%.

Eingabeprozedur:

Wird der Ablehnungsbereich auf { 0 … 18 } vergrößert, dann gilt für das Signifikanzniveau:

Bei einer Anzahl von k = 18 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann jetzt etwa 28,3%.

Rechenhelfer für die Binomialverteilung