Aufgabenroulette Lösung Aufgabe p9_stoch

Aufgabenkategorie
Wahrscheinlichkeitsrechnung

186 Ausführliche Lösungen:

a) Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen.
Es soll überprüft werden, ob der Anteil der Grundschüler, der zur Realschule wechselt, wie im vergangenen Jahr 75% beträgt. Da weder eine eindeutige Abweichung nach oben oder nach unten vermutet wird, handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest.
Die Hypothesen lauten:
Nullhypothese: H₀: p = 0,75; Alternativhypothese H₁: p ≠ 0,75.
Der Ablehnungsbereich, bestimmt durch das Signifikanzniveau von 5%, verteilt sich gleichmäßig auf beide Seiten.

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Auswertung:
Der Annahmebereich von H₀ beinhaltet 81 bis 99 Entscheidungen für die Realschule.
Der Ablehnungsbereich von H₀ beinhaltet 0 bis 80, bzw. 100 bis 120 Entscheidungen für die Realschule.

Falls p = 0,75 richtig ist, aber das Stichprobenergebnis zufällig in den Ablehnungsbereich fällt, lehnt man fälschlicherweise H₀ ab. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist gleich der Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich.
1 - 0,954 = 0,046 (4,6%).

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b) Aufgabenanalyse.
Falls H₀ nicht gilt, sondern p = 0,7 richtig ist, d.h. die Hypothese p = 0,75 ist falsch, aber das Stichprobenergebnis fällt zufällig im Annahmebereich von H₀ , nimmt man H₀ fälschlicherweise an. Die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Fehler zu machen ist der Fehler 2. Art.
Man berechnet diesen Fehler, indem man unter der Annahme, dass p = 0,7 richtig ist, die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs von H₀ bestimmt.

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Auswertung:
Falls H₀ falsch und p = 0,7 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 75,8% in den Annahmebereich von H₀.
Die Nullhypothese würde fälschlicherweise angenommen werden. Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art. Er beträgt 75,8% und ist im Vergleich zum Fehler 1. Art mit 4,6% sehr groß.

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186	Ausführliche Lösungen:
	a)	Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen. Es soll überprüft werden, ob der Anteil der Grundschüler, der zur Realschule wechselt, wie im vergangenen Jahr 75% beträgt. Da weder eine eindeutige Abweichung nach oben oder nach unten vermutet wird, handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest. Die Hypothesen lauten: Nullhypothese: H₀: p = 0,75; Alternativhypothese H₁: p ≠ 0,75. Der Ablehnungsbereich, bestimmt durch das Signifikanzniveau von 5%, verteilt sich gleichmäßig auf beide Seiten.

		Auswertung: Der Annahmebereich von H₀ beinhaltet 81 bis 99 Entscheidungen für die Realschule. Der Ablehnungsbereich von H₀ beinhaltet 0 bis 80, bzw. 100 bis 120 Entscheidungen für die Realschule. Falls p = 0,75 richtig ist, aber das Stichprobenergebnis zufällig in den Ablehnungsbereich fällt, lehnt man fälschlicherweise H₀ ab. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist gleich der Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich. 1 - 0,954 = 0,046 (4,6%).

	b)	Aufgabenanalyse. Falls H₀ nicht gilt, sondern p = 0,7 richtig ist, d.h. die Hypothese p = 0,75 ist falsch, aber das Stichprobenergebnis fällt zufällig im Annahmebereich von H₀ , nimmt man H₀ fälschlicherweise an. Die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Fehler zu machen ist der Fehler 2. Art. Man berechnet diesen Fehler, indem man unter der Annahme, dass p = 0,7 richtig ist, die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs von H₀ bestimmt.

		Auswertung: Falls H₀ falsch und p = 0,7 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 75,8% in den Annahmebereich von H₀. Die Nullhypothese würde fälschlicherweise angenommen werden. Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art. Er beträgt 75,8% und ist im Vergleich zum Fehler 1. Art mit 4,6% sehr groß.