Berechnung von Umgebungswahrscheinlichkeiten  Intervall symmetrisch zum Erwartungswert  %- Umgebung vom Erwartungswert  Intervalle außerhalb von Umgebungen  Asymmetrische Umgebungen  Tabellenwerte  Aufgaben: Binomialverteilung Feedback     Interesse an einer CD ?     Empfehlung

An einigen Beispielen soll gezeigt werden, wie mit der Tabelle normalverteilter Zufallsvariablen zu arbeiten ist. Zu beachten ist, dass die zu dem Wert z gehörige Umgebung immer symmetrisch zum Erwartungswert µ liegt.

Intervall symmetrisch zum Erwartungswert

Gegeben ist ein n- stufiger Bernoulli- Versuch mit n = 500 und p = 0,33.
Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 150 ; 180].
Es soll mit einer Genauigkeit von drei Stellen hinter dem Komma gerechnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 150 ; 180 ] beträgt etwa 85,8%

Warum sind die Intervallgrenzen um jeweils 0,5 zu vergrößern, wenn mit den Tabellenwerten der Normalverteilung die Intervallwahrscheinlichkeit bestimmt wird?

Die Daten der verwendeten Tabelle basieren auf der Normalverteilung. Würde man den Radius r = 165 - 150 = 15 wählen, so wäre dieser um 0,5 zu klein. Er würde nur die halbe Fläche der Säule von k = 150 bzw. von k = 180 berücksichtigen. Die folgende Grafik soll das erläutern.

Der gewählte Radius r = 4 ist zu klein. Er berücksichtigt auf jeder Seite vom Erwartungswert eine halbe Säule zu wenig, so dass die gewählte Umgebung nicht vollständig erfasst wird.

Der gewählte Radius r = 4,5 berücksichtigt auf jeder Seite vom Erwartungswert eine halbe Säule mehr, so dass die gewählte Umgebung vollständig erfasst wird.

%- Umgebung vom Erwartungswert

Bestimmen Sie die 90%- Umgebung vom Erwartungswert für n = 550 und p = 0,36.

Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 180 ; 216 ] beträgt etwa 90%

Intervalle außerhalb von Umgebungen

Gegeben ist ein n- stufiger Bernoulli- Versuch. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse außerhalb von Umgebungen um den Erwartungswert.

a) b)

zu a) Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeit für das Intervall [0 ; 161]. Aus der Tabelle kann nur die Wahrscheinlichkeit für ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall abgelesen werden, dieses enthält die Werte [162 .... 168 ... 174 ]. Daran anschließend folgt das Intervall [175 .... 300], welches aus Symmetriegründen die gleiche Größe wie [0 ; 161] hat. Es gilt folgender Ansatz: [ { 0 ... 161 } {162 ... 168 ... 174 } { 175 ... 300}] Die Wahrscheinlichkeit für weniger als 162 Erfolge ist etwa 22,4% zu b) Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 80 Erfolge ist etwa 47,2%

Asymmetrische Umgebungen

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit einer nicht symmetrischen Umgebung vom Erwartungswert.

Die Wahrscheinlichkeit der Erfolge im Intervall [89 ; 104] ist etwa 73,6%.

JavaScript   Auf den Button oder hier klicken

Rechenhelfer für die Binomialverteilung