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Viele Zufallsexperimente können als Experimente mit zwei Ergebnissen interpretiert werden, wie z.B.
Solche Experimente heißen Bernoulli - Experimente. Die beiden Ergebnisse eines solchen Experiments bezeichnet man als Erfolg oder als Misserfolg. Führt man einen solchen Versuch n - mal durch, so spricht man von einem n - stufigen Bernoulli - Versuch oder einer Bernoullikette der Länge n. Bei n -stufigen Bernoulli - Versuchen wird verlangt, dass das Ergebnis eines Einzelversuchs nicht durch die anderen Versuche beeinflusst wird. Man interessiert sich bei einem solchen n - stufigen Versuch für die Anzahl der Erfolge oder der Misserfolge.
Ein Würfel wird dreimal nacheinander geworfen. Wir interessieren uns für die
Wahrscheinlichkeit, mit der die Zahl 6 bei diesem Versuch 0, 1, 2 oder 3 mal auftritt.
E bedeutet Erfolg oder Treffer, M bedeutet Misserfolg oder kein Treffer.
Hier handelt es sich um einen dreistufigen Bernoulli - Versuch.
Aus dem Baumdiagramm lassen sich mittels der Pfadregeln leicht die Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Die Ergebnismenge enthält 8 Elemente (Anzahl der Pfade), die jeweils aus einer Anordnung von 3 Folgeereignissen besteht.
Bei Erhöhung der Stufenzahl, wird die Bearbeitung der Aufgabe mit dem Baumdiagramm kaum mehr möglich.
Bei einem n - stufigen Bernoulli - Versuch besteht jedes Element der Ergebnismenge aus n Folgeereignissen .z.B. EEMMEEEM .......EM.
Die Anzahl der Pfade mit k Erfolgen zu finden ist gleichbedeutend damit, aus der Ergebnismenge die Anzahl der Elemente zu finden, die k - mal unabhängig von der
Reihenfolge einen Erfolg aufweisen.
Man kann das auch so formulieren:
Auf wie viele Arten kann man k Objekte aus n Objekten unabhängig von der Reihenfolge auswählen?
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Die Anzahl der Pfade mit k Erfolgen bei einem n- stufigen Bernoulli- Versuch ist:
| Beispiel |
Ein Würfel wird n = 5 mal geworfen. Als Erfolg werten wir die Augenzahl 6. Wie viel Pfade mit k = 3 Erfolgen gibt es im Ergebnisbaum? 
Es gibt bei diesem Versuch also insgesamt 10 Pfade, die jeweils 3 Erfolge beinhalten. |
An einem konkreten Beispiel soll die Rechenvorschrift zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Pfades gezeigt werden. Diese Vorschrift ist dann zu verallgemeinern.
Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades lässt sich mit der Pfadmultiplikationsregel bestimmen:
Die Anzahl der Stufen für dieses Zufallsexperiment ist n = 5.
Die Anzahl der Erfolge ist k = 3.
Die Anzahl der Misserfolge ist n - k = 5 - 3 = 2.
Diese Zahlen treten als Exponenten der Wahrscheinlichkeiten für einen Erfolg
(p = 1/6) bzw. für einen Misserfolg (q = 5/6) auf.
Es gilt q = 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6.
Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit für bei n = 5 und k = 3 wie folgt berechnen:
Verallgemeinerung:
Da es sich bei einem n - stufigen Bernoulli- Versuch um einen Versuch handelt, bei dem in jeder Stufe die Erfolgswahrscheinlichkeit P(E) = p gleich bleibt, gilt nach der Pfadmultiplikationsregel für jeden Pfad mit k Erfolgen und n - k Misserfolgen:
Das ist der Binomische Lehrsatz.
Für das Einführungsbeispiel mit n = 3 gilt:
| Binomialverteilung |
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| Übung |
Eine Familie hat 6 Kinder. Die Wahrscheinlichkeit ein Mädchen zu gebären betrage p = 0,5. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, das unter den 6 Kindern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Mädchen sind und zeichnen Sie das Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A: Genau die Hälfte der Kinder sind Mädchen. B: Höchstens die Hälfte der Kinder sind Mädchen. C: Mindestens die Hälfte der Kinder sind Mädchen. Lösung |
| Übung |
Eine Münze wird 5 mal geworfen und p sei 0,5.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X: Anzahl der Wappen. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man (1) Höchstens 3 mal Wappen (2) Weniger als 3 mal Wappen (3) mindestens 1 mal Wappen (4) mehr als einmal Wappen? Lösung |
| Beispiel |
Eine Münze wird 20 mal geworfen. Zu bestimmen sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse:
a) Genau 10 mal Wappen. b) Höchstens 15 mal Wappen. c) Mindestens 7 mal Wappen. d) Mindestens 6 mal und höchstens 16 mal Wappen. |
Die Daten der Wahrscheinlichkeitsverteilung sind in folgender Tabelle zusammengestellt.
Dabei sind die Werte auf 3 Stellen nach dem Komma gerundet.
Bemerkung: Für die Fälle k = 0, 1, 2 und 18, 19, 20 ist die Wahrscheinlichkeit natürlich nicht Null. Die Null entsteht dadurch, dass auf drei Stellen nach den Komma gerundet wurde.
Das Histogramm einer solchen Binomialverteilung sieht wie folgt aus:
Das Beispiel zeigt, welchen Vorteil kumulierte Tabellen haben, wenn es darum geht, die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich der Zufallsvariablen X zu berechnen. Diese Bereiche sind auf dem Zahlenstrahl auch als Intervalle darstellbar.
Wir unterscheiden folgende Fälle:
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Binomialverteilung mit Histogramm
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Rechenhelfer für die Binomialverteilung |
| Übung |
Ein Multiple- Choice- Test besteht aus 50 Aufgaben mit jeweils 5 Antworten, von denen nur jeweils eine richtig ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man durch bloßes Raten folgende Anzahl von Aufgaben richtig beantworten? a) Mehr als 20 Aufgaben b) Mindestens 10 und höchstens 20 Aufgaben c) Weniger als 10 Aufgaben d) Genau 15 Aufgaben Die Trefferwahrscheinlichkeit pro Aufgabe ist 1/5 = 0,2. Da diese Wahrscheinlichkeit bei jeder der 50 Aufgaben besteht, kann der Vorgang als 50 stufiger Bernoulli- Versuch betrachtet werden. Der Auszug aus der kumulierten Binomialverteilung mit n = 50 und p = 0,2 soll als Hilfestellung genutzt werden. 
Lösung |
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| Übung |
Eine Familie hat 6 Kinder. Die Wahrscheinlichkeit ein Mädchen zu gebären betrage p = 0,5. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, das unter den 6 Kindern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Mädchen sind und zeichnen Sie das Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A: Genau die Hälfte der Kinder sind Mädchen. B: Höchstens die Hälfte der Kinder sind Mädchen. C: Mindestens die Hälfte der Kinder sind Mädchen. |
| Lösung: | |
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Das Problem kann als 6- stufiger Bernoulli- Versuch betrachtet werden mit n = 6 und p = 0,5. Gesucht ist P( X = k ) für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 
Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung: 
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| Übung |
Eine Münze wird 5 mal geworfen und p sei 0,5.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X: Anzahl der Wappen. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man (1) Höchstens 3 mal Wappen (2) Weniger als 3 mal Wappen (3) mindestens 1 mal Wappen (4) mehr als einmal Wappen? |
| Lösung: | |
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Das Problem kann als 5- stufiger Bernoulli- Versuch betrachtet werden mit n = 5 und p = 0,5.
a) Gesucht ist P( X = k ) für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 
b) (1) Höchstens 3 mal Wappen bedeutet: 
(2) Weniger als 3 mal Wappen bedeutet: 
(3) Mindestens 1 mal Wappen bedeutet: 
(4) Mehr als 1 mal Wappen bedeutet: 
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| Übung |
Ein Multiple- Choice- Test besteht aus 50 Aufgaben mit jeweils 5 Antworten, von denen nur jeweils eine richtig ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man durch bloßes Raten folgende Anzahl von Aufgaben richtig beantworten? a) Mehr als 20 Aufgaben b) Mindestens 10 und höchstens 20 Aufgaben c) Weniger als 10 Aufgaben d) Genau 15 Aufgaben Die Trefferwahrscheinlichkeit pro Aufgabe ist 1/5 = 0,2. Da diese Wahrscheinlichkeit bei jeder der 50 Aufgaben besteht, kann der Vorgang als 50 stufiger Bernoulli- Versuch betrachtet werden. Der Auszug aus der kumulierten Binomialverteilung mit n = 50 und p = 0,2 soll als Hilfestellung genutzt werden.
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| Lösung: | |||||||||
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