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Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten
mithilfe von Zählstrategien
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Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung konnten im Wesentlichen mit übersichtlichen Ergebnisbäumen bearbeitet werden. Doch diese Methode hat ihre Grenzen. Das zeigt schon allein das Beispiel des mehrmaligen Wurfes eines Würfels.

Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen

Beispiel
Ein Würfel wird k - mal geworfen. Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 6 Kugeln mit den Nummern 1 bis 6 enthält, k mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen wird.
A: Mit jedem Wurf, bzw. Zug erhält man eine 4.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei jedem der k Würfe bzw. Züge eine 4 zu erhalten?
b) Wie viele Elemente enthält die Ergebnismenge (Anzahl aller Möglichkeiten)?
  Lösung:
  des_108
a) Da es sich bei dem Versuch um ein Laplace - Experiment handelt, wo für alleErgebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit angenommen werden kann, gilt für die Wahrscheinlichkeit nach jeder Stufe eine 4 zu erhalten:
f_1197
b) Da die Anzahl der Äste im Baumdiagramm sich mit jeder Stufe versechsfachen, gilt für die k - te Stufe:
f_1198

Verallgemeinert man diese Gesetzmäßigkeit derart, dass man sagt:
In einer Urne befinden sich n gleichartige Kugeln mit den Nummern 1, 2, ..., n, wobei k mal mit zurücklegen gezogen wird, dann ist die Anzahl der Möglichkeiten nk.

Satz f_1199

Beispiel
Bei der Fußballwette (Toto) muss man für 11 Spiele an einem Wochenende vorhersagen, ob die Heimmannschaft gewinnt (Tipp: 1) oder die Gastmannschaft (Tipp: 2) oder ob beide Mannschaften unentschieden spielen (Tipp: 0).
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Toto - Tippzettel auszufüllen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Tipp mit 11 richtigen?
  Lösung:
a) Modellierung mit dem Urnenmodell:
Eine Urne enthält drei Kugeln mit den Nummern 0; 1 und 2. Es wird 11 mal gezogen mit Zurücklegen.
f_1200
b) f_1201

Übung Ein Fahrradschloss (Zahlenschloss) besteht aus vier unabhängig voneinander beweglichen Rädern, die jeweils 6 Ziffern ( von 1 bis 6 )enthalten. Das Schloss öffnet sich nur bei einer ganz bestimmten Zahlenkombination. Wie viele Stellungen (Zahlenkombinationen) hat das Fahrradschloss und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Einstellung das Schloss zu öffnen?
Lösung

Übung Aus den 26 Buchstaben des Alphabets werden nacheinander blind drei Buchstaben mit Zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dreimal denselben Buchstaben zu ziehen?
Lösung

Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

Beispiel
In einer Urne liegen 4 Kugeln mit den Farben rot, gelb, grün und blau.
Man zieht eine Kugel, registriert die Nummer, legt die Kugel zur Seite und wiederholt den Vorgang.
Insgesamt sind 4 Züge möglich, dann ist die Urne leer.
Wie viele Elemente enthält die Ergebnismenge (Anzahl aller Möglichkeiten)?
des_109
Wie aus dem Baumdiagramm leicht abzulesen ist, verringert sich von Stufe zu Stufe die Anzahl der Äste um 1.
f_1204
Die aus dem Baumdiagramm abzulesende Gesetzmäßigkeit lässt sich verallgemeinern.
Betrachtet man nun eine Urne mit n Kugeln nummeriert von 1 bis n und führt k Züge ohne zurücklegen durch, so gilt für die Anzahl der Möglichkeiten:
f_1205
Ein Produkt, bei dem jeder Folgefaktor um 1 erniedrigt wird, nennt man Fakultät.
f_1206

Satz f_1207 geordnete Stichprobe ohne zurücklegen

Beispiel
Ein Computerprogramm ist durch ein Passwort geschützt. Dieses Passwort besteht aus 4 unterschiedlichen Buchstaben.
a) Wie viele Passwörter sind möglich?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Code mit einem Versuch geknackt werden?
  Lösung:
a) Es stehen alle 26 Buchstaben des Alphabets genau einmal zur Verfügung. Für den ersten Buchstaben des Wortes kommen alle 26 Buchstaben des Alphabets, für den zweiten nur noch 25 Buchstaben in Frage usw. Es handelt sich um eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen. Aus n = 26 Buchstaben werden k = 4 Buchstaben gezogen.
f_1208
b) Da es nur einen richtigen Code gibt, wird die Erfolgswahrscheinlichkeit unmittelbar berechnet:
f_1209

Übung In einer Lostrommel befinden sich 6 Lose mit den Nummern 1 bis 6. Ein Spieler zieht nacheinander drei Lose. Zieht er in der Reihenfolge die Nummern 2, 4 und 6, so hat er gewonnen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn.
Lösung

 
film02 Video 1 Von OberPrima Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen:
Diese Aufgabe hat Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite
http://oberprima.com ausführlich erklärt.

Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

Beispiel
Bei der Ziehung der Lottozahlen werden 6 Zahlen aus insgesamt 49 Zahlen gezogen. Dabei handelt es sich um ein Ziehen ohne zurücklegen.
f_1211
Da es bei der Ziehung nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen ankommt, verringert sich die Anzahl der Möglichkeiten um den Teil, wie oft sich die gezogenen Zahlen anordnen lassen.
Werden z. B. die Zahlen 3, 12, 17, 22, 36 und 41 gezogen, so kann man sie auch in der Form 17, 22, 41, 3, 36 und 12 anordnen. Das hat für den Gewinn keine Bedeutung. Um die Anzahl der Möglichkeiten beim Lotto herauszufinden, müssen wir Anzahl der möglichen Vertauschungen der 6 Zahlen herausfinden. Oder anders ausgedrückt, wir müssen herausfinden, auf wie viele verschiedene Arten sich diese 6 Zahlen anordnen lassen.
Die Lösung lässt sich leicht durch ein Urnenexperiment finden.
In einer Urne befinden sich n = 6 Kugeln mit den Nummern von 1 bis 6. Zieht man nun der Reihe nach (Ziehen ohne Zurücklegen) k = 6 mal, bis die Urne leer ist, dann hat man alle Möglichkeiten gefunden, die 6 Zahlen anzuordnen.
f_1212
Wird aus einer Urne mit n Elementen solange gezogen (Ziehen ohne Zurücklegen), bis die Urne leer ist, dann ist, dann spricht man von einer geordneten Vollerhebung. In diesem Fall ist n = k.
Für n verschiedene Elemente gibt es n! Vollerhebungen.
Mit anderen Worten:
Eine Menge aus n unterschiedlichen Elementen lässt sichauf n! verschiedene Arten anordnen.
Kommen wir zurück zu unserem Lotto - Beispiel.
Bisher haben wir ermittelt wie viele Möglichkeiten es gibt, aus 49 zahlen 6 zahlen zu ziehen. Da es bei der Auswertung nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen ankommt, muss die Anzahl der Möglichkeiten durch 6! geteilt werden.
Damit wird die Anzahl der Möglichkeiten im Lotto 6 richtige zu haben:
f_1213

Satz f_1214

Beispiel
Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden 4 Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies 4 Buben sind?
Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen.
f_1215

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Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck
Externer Link zu
http://www.walter-fendt.de/m14d/pascaldreieck.htm

Übung Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden 8 Karten gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies 8 Karo - Karten sind?
Lösung

Etwas anspruchsvollere Taschenrechner haben für die oben genannten Formeln Funktionstasten, mit denen der Rechenvorgang sehr vereinfacht werden kann.
Für den TI - 30 eco RS von Texas Instruments gilt beispielsweise:
f_1217

 
film02 Video 2 Von OberPrima Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen:
Diese Aufgabe hat Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite
www.oberprima.com ausführlich erklärt.

Zusammenfassung

Zusammenfassung f_1218

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Kombinatorik - Rechenhelfer
1. Anordnung von k Elementen.
2. Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen.
3. Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen.
4. Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen.
5. Binominalverteilung.

Übung Ein Fahrradschloss (Zahlenschloss) besteht aus vier unabhängig voneinander beweglichen Rädern, die jeweils 6 Ziffern ( von 1 bis 6 )enthalten. Das Schloss öffnet sich nur bei einer ganz bestimmten Zahlenkombination.Wie viele Stellungen (Zahlenkombinationen) hat das Fahrradschloss und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Einstellung das Schloss zu öffnen?
Lösung:
Modellierung mit dem Urnenmodell:Eine Urne enthält n = 6 Kugeln mit den Nummern 1 bis 6. Es wird k = 4 mal gezogen mit Zurücklegen.
f_1202

Übung Aus den 26 Buchstaben des Alphabets werden nacheinander blind drei Buchstaben mit Zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dreimal denselben Buchstaben zu ziehen?
Lösung:
Modellierung mit dem Urnenmodell:
Eine Urne enthält n = 26 Kugeln mit den Buchstaben A bis Z.
Es wird k = 3 mal gezogen mit Zurücklegen.
f_1203

Übung In einer Lostrommel befinden sich 6 Lose mit den Nummern 1 bis 6. Ein Spieler zieht nacheinander drei Lose. Zieht er in der Reihenfolge die Nummern 2, 4 und 6, so hat er gewonnen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn.
Lösung:
Zuerst wird die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, von diesen gibt es nur eine, die zum Gewinn führt, nämlich die Zahlenfolge 2, 4, 6. Es handelt sich um eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen. Aus n = 6 Zahlen werden k = 3 Zahlen gezogen.
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Übung Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden 8 Karten gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies 8 Karo - Karten sind?
Lösung:
f_1216