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Zufallsexperimente in der Wahrscheinlichkeitsrechnung |
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Aus der Beschäftigung mit Problemen, die im Zusammenhang mit Glücksspielen standen, entwickelte sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Auch heute noch werden Erkenntnisse und Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Glücksspiele angewandt. Ähnlich wie bei Glücksspielen sind auch bei vielen naturwissenschaftlichen, wirtschafts- oder sozialwissenschaftlichen Erscheinungen Voraussagen und Planungen von Zufällen abhängig. Die Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Untersuchung von Vorgängen mit zufälligen Ausgängen auf mögliche Gesetzmäßigkeiten um diese für Prognosen zu optimieren.
Die Augenzahl beim Würfeln hängt vom Zufall ab. Das Würfeln, aber auch jedes andere Glücksspiel ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang, bei dem der Ausgang nicht vorhersagbar ist. Solche Versuche nennt man Zufallsexperimente.
| Zufallsexperiment |
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften:
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| Beispiel |
Werfen eines Würfels
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| Übung |
Ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment? Lösung |
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Einstufiges Zufallsexperiment |
Wird ein Zufallsexperiment einmal ausgeführt, so spricht man von einem einstufigen Zufallsexperiment. |
| Beispiel |
Einmaliges werfen eines Würfels. Einmaliges werfen einer Münze. Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels. |
| Ergebnis | Der Ausgang des Zufallsexperimentes wird Ergebnis genannt. |
| Beispiele |
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| Ergebnismenge | Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. |
| Die Ergebnismenge wird auch Stichprobenraum, oder Ereignisraum oder Ergebnisraum genannt. |
| Beispiele |
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| Übung |
Geben Sie drei weitere Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an. Lösung |
Die Ergebnismenge kann in der Mengenschreibweise oder auch als Baumdiagramm dargestellt werden.
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Ergebnis und Ergebnismenge |
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Zufallsexperimente, die sich aus mehreren hintereinander ausgeführten einstufigen Experimenten zusammensetzen, nennt man mehrstufige Zufallsexperimente.
| Beispiel |
Zweimaliges werfen einer Heftzwecke Darstellung mittels Baumdiagramm:  Die Ergebnismenge lässt sich leicht aus dem Baumdiagramm ablesen:  Es gibt 4 mögliche Ergebnisse. Im Baumdiagramm führt jeder Pfad zu einem Ergebnis. |
| Übung |
In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel. Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift: Nacheinander wird jeweils eine Kugel ohne zurücklegen gezogen. Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge. Lösung |
| Übung |
In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel. Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift: Nacheinander wird jeweils eine Kugel mit zurücklegen gezogen. Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge. Lösung |
| Übung | Ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment? |
| Lösung: | |
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Die Wette ist beliebig oft wiederholbar. Es gibt 3 mögliche Ergebnisse (Sieg, unentschieden, Niederlage). Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar. Also ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment. |
| Übung | Geben Sie drei weitere Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an. |
| Lösung: | |
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| Übung |
In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel. Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift: Nacheinander wird jeweils eine Kugel ohne zurücklegen gezogen. Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge. |
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| Lösung: | |||
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| Übung |
In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel. Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift: Nacheinander wird jeweils eine Kugel mit zurücklegen gezogen. Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge |
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| Lösung: | |||
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