Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aus der Beschäftigung mit Problemen, die im Zusammenhang mit Glücksspielen standen, entwickelte sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Auch heute noch werden Erkenntnisse und Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Glücksspiele angewandt. Ähnlich wie bei Glücksspielen sind auch bei vielen naturwissenschaftlichen, wirtschafts- oder sozialwissenschaftlichen Erscheinungen Voraussagen und Planungen von Zufällen abhängig. Die Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Untersuchung von Vorgängen mit zufälligen Ausgängen auf mögliche Gesetzmäßigkeiten um diese für Prognosen zu optimieren.

Zufallsexperimente

Die Augenzahl beim Würfeln hängt vom Zufall ab. Das Würfeln, aber auch jedes andere Glücksspiel ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang, bei dem der Ausgang nicht vorhersagbar ist. Solche Versuche nennt man Zufallsexperimente.

Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften: Unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar Es gibt mindestens zwei mögliche Ergebnisse Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar

Video 1 Von OberPrima Zufallsexperiment, Zufallsversuch: Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite http://oberprima.com ausführliche Informationen.

Beispiel

Werfen eines Würfels ist beliebig oft wiederholbar Es gibt 6 mögliche Ergebnisse (also mindestens 2) Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar

Übung

Ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment? Lösung

Einstufige Zufallsexperimente

Einstufiges Zufallsexperiment

Wird ein Zufallsexperiment einmal ausgeführt, so spricht man von einem einstufigen Zufallsexperiment.

Beispiel

Einmaliges werfen eines Würfels. Einmaliges werfen einer Münze. Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels.

Ergebnis

Der Ausgang des Zufallsexperimentes wird Ergebnis genannt.

Beispiele

Zufallsexperiment mögliches Ergebnis Einmaliges werfen eines Würfels 4 Einmaliges werfen einer Münze Zahl Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels Sieg

Ergebnismenge	Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.
	Die Ergebnismenge wird auch Stichprobenraum, oder Ereignisraum oder Ergebnisraum genannt.

Beispiele

Zufallsexperiment Ergebnismenge Einmaliges werfen eines Würfels Einmaliges werfen einer Münze Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels

Übung

Geben Sie drei weitere Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an. Lösung

Darstellung der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes

Die Ergebnismenge kann in der Mengenschreibweise oder auch als Baumdiagramm dargestellt werden.

Darstellung in der Mengenschreibweise Darstellung als Baumdiagramm Einmaliges werfen eines Würfels Einmaliges werfen einer Münze Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels

Video 2 Von OberPrima Ergebnisse, Ergebnismenge: Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite http://oberprima.com ausführliche Informationen.

Ergebnis und Ergebnismenge

Video 3 Von OberPrima Ergebnismengen: Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite http://oberprima.com ausführliche Informationen.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Zufallsexperimente, die sich aus mehreren hintereinander ausgeführten einstufigen Experimenten zusammensetzen, nennt man mehrstufige Zufallsexperimente.

Beispiel

Zweimaliges werfen einer Heftzwecke Darstellung mittels Baumdiagramm: Die Ergebnismenge lässt sich leicht aus dem Baumdiagramm ablesen: Es gibt 4 mögliche Ergebnisse. Im Baumdiagramm führt jeder Pfad zu einem Ergebnis.

Übung

In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel. Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift: Nacheinander wird jeweils eine Kugel ohne zurücklegen gezogen. Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge. Lösung

Übung

In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel. Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift: Nacheinander wird jeweils eine Kugel mit zurücklegen gezogen. Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge. Lösung

Übung	Ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment?
	Lösung:
	Die Wette ist beliebig oft wiederholbar. Es gibt 3 mögliche Ergebnisse (Sieg, unentschieden, Niederlage). Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar. Also ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment.

Übung	Geben Sie drei weitere Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an.
	Lösung:

Übung	In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel. Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift: Nacheinander wird jeweils eine Kugel ohne zurücklegen gezogen. Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge.
	Lösung:
	Ergebnismenge:

Übung	In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel. Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift: Nacheinander wird jeweils eine Kugel mit zurücklegen gezogen. Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge
	Lösung:
	Ergebnismenge: