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Potenzen, Wurzeln
und ihre Rechengesetze
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Der Potenzbegriff

Definition Eine Potenz ist eine Multiplikation gleicher Faktoren (Basis), bei der der Exponent die Anzahl der Faktoren angibt.
f_0293

  Beispiele:
 
f_0294 f_0295 f_0296
f_0297 f_0298 f_0299

Potenzgesetze

Addition und Subtraktion von Potenzen:

  Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können addiert oder subtrahiert werden.

  Beispiele:
 
a) f_0300 b) f_0301

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

  Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält.
f_0302

  Beispiele:
 
a) f_0303 b) f_0304 c) f_0305

Merke f_0306

Division von Potenzen mit gleicher Basis

  Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man den Nennerexponenten vom Zählerexponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
f_0307

Der Satz kann aber laut Definition nur gelten, wenn m > n ist.
Wir untersuchen daher die Fälle m = n und m < n

f_0308

Bei der Division gleicher Potenzen ergibt sich im Ergebnis der Exponent 0.
Die Division gleicher Zahlen führt zum Ergebnis 1.
Daher ist es sinnvoll, a0 = 1 zu definieren.

f_0309

Ist der Zählerexponent kleiner als der Nennerexponent, so ergibt sich bei der Anwendung der Regel über die Division von Potenzen eine negative Zahle als Exponent.
Um die Allgemeingültigkeit der Regel zu erreichen, muss die Definition des Potenzbegriffes erweitert und die Potenz mit negativen Exponenten sinnvoll interpretiert werden.

  Setzt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
f_0310

Definition 1. erweiterte Potenzdefinition:
f_0311

Mit Hilfe dieser Definition sind die Regeln über die Multiplikation und Division uneingeschränkt gültig.

  Beispiele:
 
a) f_0312 b) f_0313
c) f_0314 d) f_0315

Multiplikation von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten

  Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
f_0316

  Beispiele:
 
a) f_0317 b) f_0318

Division von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten

  Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
f_0319

  Beispiele:
 
a) f_0320 b) f_0321

Potenzieren von Potenzen

  Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
f_0322

  Beispiele:
 
a) f_0323 b) f_0324

Radizieren von Potenzen

  Potenzen werden radiziert, indem man den Potenzexponenten durch den Wurzelexponenten dividiert und die Basis beibehält.
f_0325

Damit lassen sich nun alle Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten darstellen. Das vereinfacht Berechnungen mit Wurzeln, da man sich auf die bekannten Potenzgesetze stützen kann.

  Beispiele:
 
a) f_0326 b) f_0327

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Rechentrainer Multiplikation von Termen
Rechentrainer zur Multiplikation bzw. Division von Potenztermen mit verschiedenen Schwierigkeitsgraden

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Potenzgesetze anwenden
Mathematisches Puzzle

Zusammenfassung der Potenzgesetze

  f_0328

Tips und Tricks bei Berechnungen mit Wurzeln

Faktor aus der Wurzel ziehen

  Beispiele:
 
a) f_0329 b) f_0330

Den Nenner wurzelfrei machen

  Beispiele:
 
a) f_0331 b) f_0332