Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze  Der Potenzbegriff  Potenzgesetze  Zusammenfassung  Tips und Tricks bei Berechnungen mit Wurzeln  Aufgaben: Anwendung der Potenzgesetze  Aufgaben: Potenzen und Wurzeln  Aufgaben: Potenzen und Wurzeln und Logarithmen  Interaktiver Test: Potenzgesetze Feedback     Interesse an einer CD ?     Empfehlung

Der Potenzbegriff

Definition

Eine Potenz ist eine Multiplikation gleicher Faktoren (Basis), bei der der Exponent die Anzahl der Faktoren angibt.

	Beispiele:

Potenzgesetze

Addition und Subtraktion von Potenzen:

Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können addiert oder subtrahiert werden.

	Beispiele:
	a) b)

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält.

	Beispiele:
	a) b) c)

Merke

Division von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man den Nennerexponenten vom Zählerexponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

Der Satz kann aber laut Definition nur gelten, wenn m > n ist.
Wir untersuchen daher die Fälle m = n und m < n

Bei der Division gleicher Potenzen ergibt sich im Ergebnis der Exponent 0.
Die Division gleicher Zahlen führt zum Ergebnis 1.
Daher ist es sinnvoll, a⁰ = 1 zu definieren.

Ist der Zählerexponent kleiner als der Nennerexponent, so ergibt sich bei der Anwendung der Regel über die Division von Potenzen eine negative Zahle als Exponent.
Um die Allgemeingültigkeit der Regel zu erreichen, muss die Definition des Potenzbegriffes erweitert und die Potenz mit negativen Exponenten sinnvoll interpretiert werden.

Setzt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.

Definition

1. erweiterte Potenzdefinition:

Mit Hilfe dieser Definition sind die Regeln über die Multiplikation und Division uneingeschränkt gültig.

	Beispiele:
	a) b) c) d)

Multiplikation von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten

Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

	Beispiele:
	a) b)

Division von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten

Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

	Beispiele:
	a) b)

Potenzieren von Potenzen

Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

	Beispiele:
	a) b)

Radizieren von Potenzen

Potenzen werden radiziert, indem man den Potenzexponenten durch den Wurzelexponenten dividiert und die Basis beibehält.

Damit lassen sich nun alle Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten darstellen. Das vereinfacht Berechnungen mit Wurzeln, da man sich auf die bekannten Potenzgesetze stützen kann.

	Beispiele:
	a) b)

Applet   Auf den Button oder hier klicken

Rechentrainer Multiplikation von Termen Rechentrainer zur Multiplikation bzw. Division von Potenztermen mit verschiedenen Schwierigkeitsgraden

JavaScript   Auf den Button oder hier klicken

Potenzgesetze anwenden Mathematisches Puzzle

Zusammenfassung der Potenzgesetze

Tips und Tricks bei Berechnungen mit Wurzeln

Faktor aus der Wurzel ziehen

	Beispiele:
	a) b)

Den Nenner wurzelfrei machen

	Beispiele:
	a) b)