Definition

Definition

Beispiele

Verlauf des Graphen

Satz	Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.

n gerade n ungerade an>0 Verlauf von II nach I Verlauf von III nach I an<0 Verlauf von III nach IV Verlauf von II nach IV

Beispiel

Symmetrien

Merke

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht oder Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht oder

Bemerkung:
Unter Achsensymmetrie ist immer die Symmetrie zur y- Achse zu verstehen. Punktsymmetrie ist die Symmetrie zum Koordinatenursprung.

Achsenschnittpunkte

Beispiel

Die y - Koordinate von P_y ist immer identisch mit dem Koeffizienten a₀.
Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.

Satz	Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.

Verfahren zur Nullstellenberechnung

	Faktorisierungsverfahren

	Substitutionsverfahren

	Polynomdivision

Graphen zeichnen

Um den Graphen einer ganzrationalen Funktion zeichnen zu können, benötigt man eine Wertetabelle und die Achsenschnittpunkte.

Wertetabelle:
Eine Möglichkeit die Wertetabelle zu erhalten besteht darin, alle benötigten Funktionswerte mit dem Taschenrechner auszurechnen. Ein anderes, oftmals einfacheres Verfahren liefert das Hornerschema.

Nachfolgend ist das Prinzip des Hornerschemas grafisch dargestellt.

Beispiel

Berechnung der Nullstellen: Mit allen nun bekannten Daten kann der Funktionsgraph gezeichnet werden. Was wir allerdings noch nicht genau bestimmen können, sind der Hochpunkt und der Tiefpunkt des Graphen. Dazu benötigen wir die Differentialrechnung in einem späteren Kapitel.

Funktionsgleichung aufstellen

Beispiel

Beispiel für eine Ganzrationale Funktion 3. Grades. Die Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben: Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt.