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Lineare Gleichungen

Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable x nur in der 1. Potenz, so spricht man von einer linearen Gleichung.

	Beispiele linearer Gleichungen mit der Lösungsvariablen x.

Die dargestellten Gleichungstypen sind die, die auf Aufgabenseiten häufig vorkommen. Dazu eine kurze Beschreibung:

Einfache lineare Gleichung mit der Variablen x auf der linken Seite. Einfache lineare Gleichung, bei der die Variable x auf beiden Seiten vorkommt. Lineare Gleichung mit der Lösungsvariablen x und den Formvariablen m, n und a. Einfache lineare Gleichung mit Brüchen und der Variablen auf der linken Seite. Lineare Gleichung, mit Brüchen, bei der die Variable x auf beiden Seiten vorkommt. Lineare Gleichung mit Klammerausdrücken. Lineare Gleichung mit eckiger und runder Klammer (Zweifachklammerung). Lineare Gleichung mit geschweifter, eckiger und runder Klammer (Dreifachklammerung).

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.

Merke

Die Lösungsmenge ( L ) enthält alle Werte, die für die Variable x eingesetzt werden dürfen. Normalerweise ist das bei linearen Gleichungen genau ein Wert. Dieser Wert wird der Grundmenge ( G ) entnommen.

Gleichungen lösen bedeutet somit "Bestimmen der Lösungsmengen".

Merke

Die Definitionsmenge ( D ) ist die Menge, für die die mathematischen Terme, die in der Gleichung vorkommen, definiert sind.

	Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung findet man durch Äquivalenzumformung, das ist eine Umformung, die die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert. Erlaubt ist:
	Auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl oder den gleichen Termzu addieren oder zu subtrahieren. Beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl, mit demselben Term zu multiplizieren oder durch die gleiche Zahl zu dividieren.

Nicht erlaubt ist:
Multiplikation mit Null, Division durch Null, sowie quadrieren beider Seiten.

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Graphische Darstellung der Äquivalenz Bei diesem Applet handelt es sich um ein graphische Veranschaulichung der Tatsache, dass sich die Lösungsmenge einer Gleichung unter Äquivalenzumformungen nicht ändert.

	Beispiel: Lineare Gleichung, bei der die Variable x auf beiden Seiten vorkommt.

	Beispiel: Lineare Gleichung mit Formvariablen.
	Die Variable u heißt Parameter oder Formvariable. Die Variable x ist die Lösungsvariable. Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von u.

Parameter oder auch Formvariable ist lediglich ein Platzhalter für jeweils ein beliebiges Element aus der Definitionsmenge.

	Beispiel: Gleichung, mit Brüchen, bei der die Variable x auf beiden Seiten vorkommt.

	Beispiel: Lineare Gleichung mit Klammerausdrücken.

	Beispiel: Lineare Gleichung mit eckiger und runder Klammer (Zweifachklammerung).

	Beispiel: Lineare Gleichung mit geschweifter, eckiger und runder Klammer (Dreifachklammerung).

Gleichungen können die Lösungsvariable auch im Nenner enthalten. Solche Gleichungen nennt man Bruchgleichungen. Sie lassen sich aber häufig durch Äquivalenzumformungen in linearen Gleichungen umformen.

	Beispiel: Eine Bruchgleichung wird zur linearen Gleichung.

Bei Bruchgleichungen ist die Definitionsmenge stets anzugeben.

Sonderfälle bei linearen Gleichungen:
In den meisten Fällen hat eine lineare Gleichung genau eine Lösung, wie in obigen Beispielen gezeigt. Es kann aber auch vorkommen, dass eine lineare Gleichung keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.

	Beispiel: Die lineare Gleichung hat keine Lösung.

	Beispiel: Die lineare Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

Schlussbemerkung:
Für Anfänger empfiehlt es sich bei der Lösung linearer Gleichungen in kleinen Schritten vorzugehen. Wer hingegen schon mehr Routine hat, kann auch mehrere Schritte zugleich vornehmen. An einem etwas aufwendigem Beispiel soll das gezeigt werden.

	Aufwendiges Beispiel etwas kürzer: