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Lineare Gleichungssysteme
mit 2 Gleichungen und 2 Variablen
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Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen

Ein solches Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen. Gesucht ist die gemeinsame Lösung beider Gleichungen. Es gibt unterschiedliche Verfahren um zur Lösung zu gelangen.

Additions-
verfahren:
Lösungsschritte für das
Additionsverfahren
Variante 1
Gleichungssystem
f_1719
1. Gleichungen äquivalent so umformen, dass die Koeffizienten (Vorzahlen) der Variablen y, bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. f_1720
2. Die entstandenen Gleichungen addieren und nach der Variablen x auflösen. f_1721
3. Den gefundenen Wert für x in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach der Variablen y auflösen. f_1722
4. Lösungsmenge aufschreiben f_1723
5. Probe durch einsetzen
f_1724

 
Lösungsschritte für das
Additionsverfahren
Variante 2
Gleichungssystem
f_1719
1. Gleichungen äquivalent so umformen, dass die Koeffizienten (Vorzahlen) der Variablen x, bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. f_1725
2. Die entstandenen Gleichungen addieren und nach der Variablen y auflösen. f_1726
3. Den gefundenen Wert für x in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach der Variablen x auflösen. f_1727
4. Lösungsmenge aufschreiben f_1728
5. Probe durch einsetzen
f_1729

Gleichsetz-
verfahren:
Lösungsschritte für das
Gleichsetzverfahren
Variante 1
Gleichungssystem
f_1719
1. Beide Gleichungen werden nach der Variablen x aufgelöst . f_1730
2. Die rechten Seiten beider Gleichungen werden gleichgesetzt und nach der Variablen y aufgelöst. f_1731
3. Der gefundene Wert für y wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen x aufgelöst. f_1732
4. Lösungsmenge aufschreiben f_1733
5. Probe durch einsetzen
f_1734

 
Lösungsschritte für das
Gleichsetzverfahren
Variante 2
Gleichungssystem
f_1719
1. Beide Gleichungen werden nach der Variablen y aufgelöst . f_1735
2. Die rechten Seiten beider Gleichungen werden gleichgesetzt und nach der Variablen x aufgelöst. f_1736
3. Der gefundene Wert für x wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen y aufgelöst. f_1737
4. Lösungsmenge aufschreiben f_1738
5. Probe durch einsetzen
f_1739

Einsetz-
verfahren:
Lösungsschritte für das
Einsetzverfahren
Variante 1
Gleichungssystem
f_1719
1. Gleichung (I) wird nach der Variablen x aufgelöst. f_1740
2. Den gefundenen Term der rechten Seite in Gleichung (II) einsetzen und nach y auflösen. f_1741
3. Der gefundene Wert für y wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen x aufgelöst. f_1742
4. Lösungsmenge aufschreiben f_1743
5. Probe durch einsetzen
f_1744

 
Lösungsschritte für das
Einsetzverfahren
Variante 2
Gleichungssystem
f_1719
1. Gleichung (II) wird nach der Variablen y aufgelöst. f_1745
2. Den gefundenen Term der rechten Seite in Gleichung (I) einsetzen und nach x auflösen. f_1746
3. Der gefundene Wert für x wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen y aufgelöst. f_1747
4. Lösungsmenge aufschreiben f_1748
5. Probe durch einsetzen
f_1749

Alle drei Verfahren mit ihren Varianten wurden auf ein bestimmtes Gleichungssystem angewendet. Wer sich die einzelnen Verfahren genauer anschaut, erkennt dass das Einsetzverfahren in der Variante 2 den geringsten Rechenaufwand erfordert.

Der Rechenaufwand für ein bestimmtes Verfahren hängt von dem zu lösenden Gleichungssystem ab. Deshalb sollte man zuerst überlegen, welches Verfahren sich mit dem geringstem Aufwand durchführen lässt. Dazu bedarf es aber einiger Übungen. Die folgenden Beispiele sollen eine kleine Hilfe dafür sein, dass geeignete Lösungsverfahren zu finden.

Beispiele für geeignete Lösungsverfahren

  Beispiel 1
  f_1750

  Beispiel 2
  f_1751

  Beispiel 3
  f_1752

  Beispiel 4
  f_1753

Bemerkung:
Das Gleichungssystem besteht aus Bruchtermen. Da der Nenner nicht Null werden darf, ist die Definitionsmenge anzugeben. Ein solches Gleichungssystem ist nicht linear.

Zeichnerisches Verfahren

 
f_1754
Beide Gleichungen werden nach y aufgelöst.
f_1755
In jede Gleichung werden für x Zahlen eingesetzt. Daraus werden Wertepaare gebildet.
f_1756
f_1757
Für jede Gleichung entsprechen die Wertepaare deren Lösungsmenge. Trägt man diese in ein Koordinatensystem ein, so erhält man zwei Geraden. Im Schnittpunkt beider Geraden liegt die gemeinsame Lösung beider Gleichungen.

f_1758

mc_240

Das zeichnerische Verfahren veranschaulicht den geometrischen Zusammenhang zwischen Gleichungen und Geraden. Als Lösungsverfahren ist es meist ungeeignet, da die Koordinaten des gemeinsamen Schnittpunktes oft nur ungenau aus der Grafik abgelesen werden können.

Gleichungssysteme ohne eindeutige Lösung

Die zeichnerische Lösung veranschaulicht den geometrischen Zusammenhang zwischen Gleichungen und Geraden.
Zwei Geraden können unterschiedliche Lagen zueinander haben.

  • Sie können sich in einem Punkt schneiden, dann gibt es, wie obiges Beispiel veranschaulicht, für die beiden linearen Gleichungen genau eine Lösung.
  • Sie können parallel zueinander verlaufen, dann gibt es keinen Punkt, den beide Geraden miteinander haben. Die dazugehörigen Gleichungen dürften demzufolge keine Lösung haben.
  • Sie können aufeinander liegen, also identisch sein, dann würde jeder Punkt der einen Geraden auch ein Punkt der anderen sein. Die dazugehörigen Gleichungen dürften demzufolge unendlich viele Lösungen haben.

  Das Gleichungssystem hat keine Lösung
f_1759 Der Lösungsansatz führt zu einer falschen Aussage. Das bedeutet, es existiert keine Lösung zu dem Gleichungssystem. Anschaulich bedeutet das, die beiden Geraden verlaufen parallel zueinander und haben keinen Punkt gemeinsam.

  Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen
f_1760 Bei der Addition nach der Äquivalenzumformung heben sich Gleichung (I) und Gleichung (II) gegenseitig auf, das bedeutet sie sind identisch. Jedes Zahlenpaar, das (I) erfüllt, erfüllt folglich auch (II). Anschaulich bedeutet das, die beiden Geraden liegen aufeinander und haben jeden Punkt gemeinsam.