Der Logarithmusbegriff

Auf der linken Seite steht eine Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 3.
Auf der rechten Seite der zugehörige Potenzwert 125.
Ersetzt man Basis, Exponent oder Potenzwert durch die Variable x, so erhält man folgende Problemstellungen.

	Lösung ?

Die Bestimmung des Exponenten heißt logarithmieren.
Man sagt: Es ist x gleich Logarithmus 125 zur Basis 5 und schreibt kurz:

Definition

Der Logarithmus ist der Exponent (x), mit dem die Basis (a) potenziert wird, um den Potenzwert (b) zu erhalten. Man sagt: x ist der Logarithmus von b zur Basis a.

	Beispiele

Logarithmen zu gebräuchlichen Basen.
Mit dem Taschenrechner lassen sich Logarithmen zur Basis 10 und solche zur Basis e (Natürlicher Logarithmus) berechnen. Natürliche Wachstumsvorgänge werden oft durch mathematische Terme, in denen Potenzen der Zahl e enthalten sind, beschrieben. Der natürliche Logarithmus (Logarithmus Naturalis) wird in Naturwissenschaft und Technik häufig verwendet. Deshalb hat man für solche Logarithmen besondere Schreibweisen eingeführt.

Sonderfälle.

Logarithmus im Exponenten.
Vielfach sind für Termumformungen folgende Beziehungen nützlich:

Der Logarithmengesetze

Logarithmus eines Produktes

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.

	Beispiel:

Logarithmus eines Quotienten

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend (Zähler) und Divisor (Nenner).

	Beispiel:

Logarithmus einer Potenz

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Logarithmus der Basis multipliziert mit dem Exponenten.

	Beispiel:

Merke

	Beispiel:

Umrechnung zwischen Logarithmensystemen

Da mit dem Taschenrechner nur dekadische und natürliche Logarithmen berechenbar sind, ist es von Fall zu Fall notwendig Logarithmen umzurechnen.

	Beispiel:

Beweis

Anwendungsbeispiele

	Der Bruchterm soll zur Basis 10 logarithmiert werden

	Die Logarithmenterme sollen zu einem Logarithmenterm zusammengefasst werden.

	Umformungen mit Logarithmus im Exponenten.

Logarithmische Skalierungen

	Beispiel
	Ein Nachteil dieser Darstellung ist, dass Funktionswerte für kleine x - Werte nicht mehr abgelesen werden können. Bei einer logarithmischen Skalierung der y - Achse werden die Graphen zu Geraden. Auf der y - Achse werden die Logarithmen der Funktionswerte abgetragen.

	Beispiel

	Graphisch lässt sich dieser Vorgang wie folgt darstellen:
	Lineare Skalenteilung Logarithmische Skalenteilung

Bemerkung:
Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich ein exponentiell mit der Zeit abnehmender Wert halbiert hat.

Die wichtigsten Logarithmengesetze

Zusammenfassung