|
Auf der linken Seite steht eine Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 3.
Auf der rechten Seite der zugehörige Potenzwert 125.
Ersetzt man Basis, Exponent oder Potenzwert durch die Variable x, so erhält man folgende Problemstellungen.
|
Die Bestimmung des Exponenten heißt logarithmieren.
Man sagt: Es ist x gleich Logarithmus 125 zur Basis 5 und schreibt kurz:
| Definition |
 Der Logarithmus ist der Exponent (x), mit dem die Basis (a) potenziert wird, um den Potenzwert (b) zu erhalten. Man sagt: x ist der Logarithmus von b zur Basis a. |
| Beispiele | |||
|
Logarithmen zu gebräuchlichen Basen.
Mit dem Taschenrechner lassen sich Logarithmen zur Basis 10 und solche zur
Basis e (Natürlicher Logarithmus) berechnen.
Natürliche Wachstumsvorgänge werden oft durch mathematische Terme, in denen Potenzen der Zahl e enthalten sind, beschrieben.
Der natürliche Logarithmus (Logarithmus Naturalis) wird in Naturwissenschaft und Technik häufig verwendet. Deshalb hat man für solche Logarithmen besondere Schreibweisen eingeführt.
|
Sonderfälle.
Logarithmus im Exponenten.
Vielfach sind für Termumformungen folgende Beziehungen nützlich:
Logarithmus eines Produktes
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.
|
| Beispiel: | |
|
Logarithmus eines Quotienten
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend (Zähler) und Divisor (Nenner).
|
| Beispiel: | |
|
Logarithmus einer Potenz
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Logarithmus der Basis multipliziert mit dem Exponenten.
|
| Beispiel: | |
|
| Merke |
|
| Beispiel: | |
|
Da mit dem Taschenrechner nur dekadische und natürliche Logarithmen berechenbar sind, ist es von Fall zu Fall notwendig Logarithmen umzurechnen.
|
| Beispiel: | |
|
| Beweis |
|
| Der Bruchterm soll zur Basis 10 logarithmiert werden | |
|
| Die Logarithmenterme sollen zu einem Logarithmenterm zusammengefasst werden. | |
|
| Umformungen mit Logarithmus im Exponenten. | |
|
| Beispiel | |
  Ein Nachteil dieser Darstellung ist, dass Funktionswerte für kleine x - Werte nicht mehr abgelesen werden können.  Bei einer logarithmischen Skalierung der y - Achse werden die Graphen zu Geraden. Auf der y - Achse werden die Logarithmen der Funktionswerte abgetragen. |
| Beispiel | |
|
| Graphisch lässt sich dieser Vorgang wie folgt darstellen: | |||
|
Bemerkung:
Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich ein exponentiell mit der Zeit abnehmender Wert halbiert hat.
| Zusammenfassung |
|
||||||||||||||||||
