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Logarithmen
und Logarithmengesetze
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Der Logarithmusbegriff

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Auf der linken Seite steht eine Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 3.
Auf der rechten Seite der zugehörige Potenzwert 125.
Ersetzt man Basis, Exponent oder Potenzwert durch die Variable x, so erhält man folgende Problemstellungen.

 
 
f_0392 f_0393
f_0394 f_0395
f_0396 Lösung ?

Die Bestimmung des Exponenten heißt logarithmieren.
Man sagt: Es ist x gleich Logarithmus 125 zur Basis 5 und schreibt kurz:
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Definition f_0398
Der Logarithmus ist der Exponent (x), mit dem die Basis (a) potenziert wird, um den Potenzwert (b) zu erhalten.
Man sagt: x ist der Logarithmus von b zur Basis a.

  Beispiele
 
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Logarithmen zu gebräuchlichen Basen.
Mit dem Taschenrechner lassen sich Logarithmen zur Basis 10 und solche zur Basis e (Natürlicher Logarithmus) berechnen. Natürliche Wachstumsvorgänge werden oft durch mathematische Terme, in denen Potenzen der Zahl e enthalten sind, beschrieben. Der natürliche Logarithmus (Logarithmus Naturalis) wird in Naturwissenschaft und Technik häufig verwendet. Deshalb hat man für solche Logarithmen besondere Schreibweisen eingeführt.

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Sonderfälle.
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Logarithmus im Exponenten.
Vielfach sind für Termumformungen folgende Beziehungen nützlich:
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Der Logarithmengesetze

Logarithmus eines Produktes

  Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.
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  Beispiel:
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Logarithmus eines Quotienten

  Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend (Zähler) und Divisor (Nenner).
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  Beispiel:
  f_0404

Logarithmus einer Potenz

  Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Logarithmus der Basis multipliziert mit dem Exponenten.
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  Beispiel:
  f_0406

Merke f_0407

  Beispiel:
  f_1429

Umrechnung zwischen Logarithmensystemen

Da mit dem Taschenrechner nur dekadische und natürliche Logarithmen berechenbar sind, ist es von Fall zu Fall notwendig Logarithmen umzurechnen.

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  Beispiel:
  f_0409

Beweis f_1430

Anwendungsbeispiele

  Der Bruchterm soll zur Basis 10 logarithmiert werden
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  Die Logarithmenterme sollen zu einem Logarithmenterm zusammengefasst werden.
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  Umformungen mit Logarithmus im Exponenten.
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Logarithmische Skalierungen

  Beispiel
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mc_071
Ein Nachteil dieser Darstellung ist, dass Funktionswerte für kleine x - Werte nicht mehr abgelesen werden können.
des_039
Bei einer logarithmischen Skalierung der y - Achse werden die Graphen zu Geraden. Auf der y - Achse werden die Logarithmen der Funktionswerte abgetragen.

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f_0413

  Beispiel
  f_0414

  Graphisch lässt sich dieser Vorgang wie folgt darstellen:
 
mc_072
Lineare Skalenteilung
mc_073
Logarithmische Skalenteilung

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Bemerkung:
Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich ein exponentiell mit der Zeit abnehmender Wert halbiert hat.

Die wichtigsten Logarithmengesetze

Zusammenfassung
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f_1436 f_1437 f_1438
f_1439                    f_1440
f_1441 f_1442 f_1443
f_1444 f_1445 f_1446
f_1447 f_1448 f_1449