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Vorbetrachtungen zur Flächenfunktion

Wir nennen sie Flächenfunktion.

Das Flächenproblem

Schon den alten griechischen Mathematikern war das grundlegende Prinzip zur Bestimmung krummlinig begrenzter Flächen bekannt. Die Differentialrechnung, mit der wir uns schon beschäftigten, wurde erst weitaus später (Ende 17. Jh.) von den Naturwissenschaftlern Leibnitz und Newton entwickelt.

Jede krummlinig begrenzte Fläche lässt sich in endlich viele Flächen zerlegen, in denen nur eine krummlinige Begrenzung auftritt. Alle anderen Begrenzungen sind dann geradlinig.

Die einzelnen Teilflächen ( z.B. hier A2 ) können im Kartesischen Koordinatensystem als Fläche zwischen der krummlinigen Begrenzung und der Abszissenachse dargestellt werden.

Ist die krummlinige Begrenzung der Graph einer stetigen Funktion f (x), so stellt sich die Frage, ob eine Funktion F existiert, die jedem Abszissenwert x0 die Fläche F(x0) zuordnet, wie das im gezeigten Einführungsbeispiel der Fall war.

Flächeneinschachtelung

Die gekennzeichnete Fläche unter der Kurve ist etwas kleiner als die tatsächliche. Die gekennzeichnete Fläche unter der Kurve ist etwas größer als die tatsächliche. Je kleiner der Flächenstreifen gemacht wird, desto geringer wird die Abweichung von der tatsächlichen Fläche. Dieser Zusammenhang lässt sich mathematisch so formulieren:

Wenn wir eine Funktion ableiten, nennen wir das differenzieren. Eine Flächenfunktion zu finden ist offenbar die Umkehrung dieses Vorgangs. Man könnte formal sagen:
Eine Flächenfunktion zu finden, bedeutet aufleiten oder integrieren.

Am Beispiel einer einfachen Potenzfunktion soll nun intuitiv ein Weg gefunden werden, wie man diese aufleitet, bzw. integriert.

Ableiten bedeutet:
          Der Exponent wird um eins erniedrigt
          Die Potenzfunktion wird mit dem alten Exponenten multipliziert

Aufleiten könnte somit bedeutet:
          Der Exponent wird um eins erhöht
          Die Potenzfunktion wird durch den neuen Exponenten dividiert

Das probieren wir gleich aus:

Man nennt F(x) auch Stammfunktion, denn f(x) erhalten wir durch ableiten dieser, das heißt, f(x) stammt von der Funktion F(x) ab.

Das bestimmen der Stammfunktion nennen wir auch integrieren, wir schreiben:

Bis jetzt ist dies eine formale Schreibweise. Nun wollen wir sie mit Leben füllen.

Wir suchen die Stammfunktion

Beispiel

Es ist die Stammfunktion F(x) zu finden, deren Ableitung f(x) = 2x ist.

Die beiden Funktionen unterscheiden sich im Absolutglied. Sie haben aber dieselbe Ableitung, weil beim Ableiten das Absolutglied verschwindet. Deshalb müssen wir unsere Regel etwas abändern.

Regel

Die Menge der Stammfunktionen

Das Beispiel zeigt, zu einer Funktion f(x) gibt es nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen. Sie unterscheiden sich lediglich durch das Absolutglied.

Beispiel

Graphisch lässt sich die Menge aller Stammfunktionen durch eine Kurvenschar einiger Repräsentanten darstellen.

Training

Stammfunktionen finden Finden Sie zu folgenden Funktionen f(x) die Stammfunktion F(x). Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch ableiten. 1. Ergebnis 2. Ergebnis 3. Ergebnis 4. Ergebnis 5. Ergebnis 6. Ergebnis 7. Ergebnis 8. Ergebnis 9. Ergebnis 10. Ergebnis 11. Ergebnis 12. Ergebnis