Übersicht aller Formeln zu ganzrationalen Funktionen


In diesem Beitrag findest du eine Übersicht aller Formeln zu ganzrationalen Funktionen. Dabei berücksichtige ich Symmetrien, Achsenschnittpunkte, Nullstellenberechnung, interaktive Hilfsmittel und viele Beispiele. Dazu führe ich Definitionen, Formeln und Vorgehensweisen an. Außerdem gebe ich viele Beispiele.

Definition ganzrationale Funktion

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Beispiele ganzrationale Funktionen:

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Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion

Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.

n gerade n ungerade
an>0 Verlauf von II nach I Verlauf von III nach I
an<0 Verlauf von III nach IV Verlauf von II nach IV

Beispiele:

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Symmetrien einer ganzrationalen Funktion

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Oder es gilt folgendes:

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Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Oder es gilt folgendes:

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Bemerkung:

Unter Achsensymmetrie versteht man die Symmetrie zur y-Achse. Punktsymmetrie ist dagegen die Symmetrie zum Koordinatenursprung.

Achsenschnittpunkte einer ganzrationalen Funktion

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Beispiel:

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Die y-Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0.
Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.

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Wie viele Nullstellen hat eine ganzrationale Funktion?

Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.

Verfahren zur Nullstellenberechnung einer ganzrationalen Funktion

Faktorisierungsverfahren:

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Substitutionsverfahren

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Polynomdivision

Dazu kannst du dir das 📽️Video Polynomdivision ansehen. Außerdem kannst du hier nachlesen: Polynomdivision.

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Graphen zeichnen

Wenn man den Graphen einer ganzrationalen Funktion zeichnen will, benötigt man eine Wertetabelle und die Achsenschnittpunkte.

Wertetabelle:

Eine Möglichkeit die Wertetabelle zu erhalten besteht darin, alle benötigten Funktionswerte mit dem Taschenrechner auszurechnen. Aber oft ist das Horner-Schema einfacher.

Dazu kannst du dir das Video 📽️ Video Horner-Schema: Funktionswerte berechnen ansehen.

Nachfolgend ist das Prinzip des Hornerschemas grafisch dargestellt.

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Beispiel:

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Berechnung der Nullstellen für den Graphenf_1675
Danach kann man den Funktionsgraph zeichnen.
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Aber wir können noch nicht genau den Hoch- und  Tiefpunkt des Graphen bestimmen. Dazu benötigen wir die Differentialrechnung in einem späteren Kapitel.

Funktionsgleichung aufstellen

Beispiel für eine Ganzrationale Funktion 3. Grades.

Wir haben folgende Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen:

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Zunächst stellen wir das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf.

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Interaktive Hilfsmittel für Funktionen

Interaktiv: Parabel durch drei Punkte: Wenn du drei Punkte eingibst, berechnet und zeichnet das Programm die Parabel.

Interaktiv: Graphen zeichnen: Gib Koeffizienten und die Potenz für x ein, dann zeichnet das Javascript den Graphen.

Außerdem Interaktiv: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte: Gib 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte: Gib 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.


Dazu findest du hier Aufgaben Ganzrationale Funktionen I Zur Vorbereitung einer Klassenarbeit.
Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen.