Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen


In diesem Beitrag erkläre ich die Symmetrie und dem Verlauf  ganzrationaler Funktionen.

Ganzrationale Funktionen n-ten Grades

Eine Funktion f(x) mit f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0  
heißt ganzrationale Funktion n-ten grades.
Die Zahlen a_n; a_{n-1}; a_{n-2} ... a_2; a_1; a_0 heißen Koeffizienten.

Ganzrationale Funktionen entstehen durch Zusammensetzen von Potenzfunktionen.


Rechner für ganzrationale Funktionen 4. Grades
Zeichne mit dem Script selber Graphen ganzrationaler Funktionen.

Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktionen n-ten Grades

Satz:

Der Summanden mit der höchsten Potenz, also xn und an, bestimmen den Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion.

Tabelle mit Beispielen:

  n gerade n ungerade
an>0 Verlauf von II nach I
f_0385
mc_059

 

Verlauf von III nach I
f_0383
mc_057

 

an<0 Verlauf von III nach IV
f_0386
mc_060

 

Verlauf von II nach IV
f_0384
mc_058

 

Beispiele:

f_0352

Dazu kannst du dir das 📽️Video Ganzrationale Funktionen Symmetrie und Verlauf ansehen.


Symmetrie des Graphen einer ganzrationalen Funktionen n-ten Grades

Die Vermutung liegt nahe, dass Funktionen, die nur aus Potenzfunktionen mit geraden Exponenten zusammengesetzt sind, achsensymmetrisch sind. Außerdem scheinen Funktionen, die nur aus Potenzen mit ungeraden Exponenten zusammengesetzt sind, punktsymmetrisch zu sein.

Satz:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur gerade Exponenten enthält.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten enthält.

Beispiel:

f_0351

 

mc_069
f_0387

 

 

mc_070
f_0388

 

 


Symmetrie zu einem beliebigen Punkt

Wird der Graph einer punktsymmetrischen Funktion beliebig verschoben, so geht die Symmetrie zum Ursprung, wir nannten sie Punktsymmetrie verloren. In Bezug auf den Zielpunkt der Verschiebung bleibt sie jedoch erhalten.

Beispiel:

f_0380

 

f_0389
mc_067

 

 

f_0390
mc_068

 

Das Ergebnis leuchtet sofort ein, denn eine Verschiebung des Graphen oder die Verschiebung des Koordinatensystems hat auf die Form des Graphen keinen Einfluss. Lediglich die Funktionsgleichung hat sich geändert.

Fallbeispiel:

Es soll überprüft werden, ob der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades zu einem bestimmten Punkt punktsymmetrisch ist. Dazu machen wir ein paar

Vorbetrachtung.

des_038

 

f_0381

 

Mit dieser Vorschrift lässt sich stets der bei einer Spiegelung an P0 zu P1 gehörige Spiegelpunkt P1‚ bestimmen.

Beispiel:

f_0382
Wenn der Spiegelpunkt nicht auf dem Graphen liegt, ist der Graph nicht punktsymmetrisch zu P0.


Rechner für ganzrationale Funktionen bis 9. Grades

Gib die Koeffizienten der Funktionsgleichung ein, danach zeichnet das Javascript den Graph der Funktion.

Dazu findest du hier Trainingsaufgaben.

Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen.