Ganzrationale Funktionen n - ten Grades

Ganzrationale Funktionen entstehen durch Zusammensetzen von Potenzfunktionen.

	Beispiele:

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Plotter für ganzrationale Funktionen 4. Grades Zeichnen Sie mit dem Script selber Graphen ganzrationaler Funktionen.

Verlauf des Graphen

Satz	Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.

n gerade n ungerade an>0 Verlauf von II nach I Verlauf von III nach I an<0 Verlauf von III nach IV Verlauf von II nach IV

	Beispiele:

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Achsen - oder Punktsymmetrie Prüfen Sie Ihr Wissen

Symmetrie

Die Vermutung liegt nahe, dass Funktionen, die nur aus Potenzfunktionen mit geraden Exponenten zusammengesetzt sind, achsensymmetrisch sind und Funktionen, die nur aus Potenzen mit ungeraden Exponenten zusammengesetzt sind, punktsymmetrisch sind.

Satz	Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur gerade Exponenten enthält. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten enthält.

	Beispiel:

Training:

Eigenschaften ganzrationaler Funktionen. Machen Sie eine Aussage über die Symmetrieeigenschaften, den Verlauf und die Anzahl der Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. 1. Ergebnis 2. Ergebnis 3. Ergebnis 4. Ergebnis 5. Ergebnis 6. Ergebnis 7. Ergebnis 8. Ergebnis 9. Ergebnis 10. Ergebnis

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Plotter für ganzrationale Funktionen bis 9. Grades Nach Eingabe der Koeffizienten der Funktionsgleichung, kann der Graph der Funktion gezeichnet werden.

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Verlauf und Symmetrie ganzrationaler Funktionen Prüfen Sie Ihr Wissen

Symmetrie zu einem beliebigen Punkt

Wird der Graph einer punktsymmetrischen Funktion beliebig verschoben, so geht die Symmetrie zum Ursprung, wir nannten sie Punktsymmetrie verloren. In Bezug auf den Zielpunkt der Verschiebung bleibt sie jedoch erhalten.

	Beispiel:

Das Ergebnis leuchtet sofort ein, denn eine Verschiebung des Graphen oder die Verschiebung des Koordinatensystems hat auf die Form des Graphen keinen Einfluss. Lediglich die Funktionsgleichung hat sich geändert.

	Fallbeispiel:
	Es soll überprüft werden, ob der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades zu einem bestimmten Punkt punktsymmetrisch ist.

	Vorbetrachtung
	Mit dieser Vorschrift lässt sich stets der bei einer Spiegelung an P0 zu P1 gehörige Spiegelpunkt P1' bestimmen.

	Beispiel:

Falls der Spiegelpunkt nicht auf dem Graphen liegt, ist der Graph nicht punktsymmetrisch zu P₀.