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Potenzfunktionen
und deren Eigenschaften
zm_080
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Potenzfunktionen

Potenzfunktion f_0345

  Beispiele:
 
mc_049
Potenzfunktion 1. Grades (Gerade)
mc_050
Potenzfunktion 2. Grades (Parabel)
mc_051
Potenzfunktion 3. Grades
mc_052
Potenzfunktion 4. Grades
mc_053
Wie lautet die Funktionsgleichung?
mc_054
Wie lautet die Funktionsgleichung?

Beantworten Sie folgende Fragen:
a) Welche gemeinsamen Punkte haben die Graphen?
b) Welchen Einfluss hat der Grad n und das Vorzeichen von an auf den Verlauf des Graphen?
c) Welchen Einfluss hat der Grad n der Potenzfunktion auf die Symmetrie des Graphen?
d) Welche Wertemengen in Abhängigkeit von n und dem Vorzeichen von an haben Potenzfunktionen?
e) Welchen Einfluss hat der Betrag von an auf den Verlauf der Graphen?
Die Antworten finden Sie am Ende der Seite.

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Funktionenplotter
Gegen Sie selber Funktionsgleichungen ein

Symmetrie

Wie lässt sich die Symmetrie beurteilen, wenn man nur die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion kennt?

Dazu zeichnen wir die Graphen folgender Funktionen:
f_0347

mc_055 mc_056

Die Vermutung liegt nahe das folgendes gilt:

Für gerade Exponenten von x sind die Funktionswerte gleich.
Das bedeutet:
f_0348

Für ungerade Exponenten von x haben die Funktionswerte den gleichen Betrag aber entgegengesetztes Vorzeichen.
Das bedeutet:
f_0349

  Dieser Zusammenhang gilt für alle Potenzfunktionen (hier ohne Beweis).
  f_0350

Zusammenfassung Für an > 0 gilt:

Alle Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch. Sie verlaufen vom II. in den I. Quadranten.

Alle Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch. Sie verlaufen vom III. in den I. Quadranten.

Für an < 0 gilt:

Alle Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch. Sie verlaufen vom III. in den IV. Quadranten.

Alle Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch. Sie verlaufen vom II. in den IV. Quadranten.

Antworten zu den Fragen Fragen:
zu a) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte ( 0 | 0 )
zu b) n gerade und an > 0: Der Graph verläuft vom II. zum I. Quadranten.
n gerade und an < 0: Der Graph verläuft vom III. zum IV. Quadranten.
n ungerade und an > 0: Der Graph verläuft vom III. zum I. Quadranten.
n ungerade und an < 0: Der Graph verläuft vom II. zum IV. Quadranten.
zu c) n gerade: Der Graph ist symmetrisch zur y- Achse (Achsensymmetrie)
n ungerade: Der Graph ist symmetrisch zum Koordinatenursprung (Punktsymmetrie)
zu d) n gerade und an > 0: f(x) ≥ 0 Es gibt nur positive Funktionswerte einschließlich der Null.
n gerade und an < 0: f (x) ≤ 0 Es gibt nur negative Funktionswerte einschließlich der Null.
n ungerade und an > 0: Wertemenge W = IR
n ungerade und an < 0: Wertemenge W = IR
zu e) Der Faktor an bestimmt die jeweilige Form des Graphen (gestreckt oder gestaucht), deshalb wird er auch Formfaktor genannt. Eine Vorzeichenänderung bewirkt die Spiegelung an der x - Achse.

Training:
Eigenschaften von Potenzfunktionen.

Bestimmen Sie den Grad folgender Potenzfunktionen, machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten, den Verlauf des Graphen und die Wertemenge. Zeichnen Sie die Graphen jeweils in ein Koordinatensystem.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
 

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Graphen einfacher Potenzfunktionen
Die wichtigsten der elementaren Funktionsgraphen (positive und negative Potenzen) auf einen Blick.

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Plotter für ganzrationale Funktionen bis 9. Grades
Nach Eingabe der Koeffizienten der Funktionsgleichung, kann der Graph der Funktion gezeichnet werden.