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Vorgabe von drei Punkten

Drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen sollen sind gegeben.
Daraus soll die Funktionsgleichung der Parabel bestimmt werden.

Zur Bestimmung der Funktionsgleichung müssen für die allgemeinen Koeffizienten a₂, a₁ und a₀ die entsprechenden Zahlenkomponenten bestimmt werden.
Da alle drei gegebenen Punkte P₁ , P₂ und P₃ Punkte der zu bestimmenden Parabel sind, kann durch dreimaliges Einsetzen der Koordinaten dieser Punkte an den Stellen x und y der allgemeinen Funktionsgleichung ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten erzeugt werden, aus denen sich die Koeffizienten a₀, a₁ und a₂ bestimmen lassen.

	Aufstellen des Gleichungssystems:
	Das ist ein Gleichungssystem bestehend aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten. Mit dem Additionsverfahren lässt sich die Lösung finden.

	Additionsverfahren:

Das Additionsverfahren lässt sich schematisieren. Das führt zum Gauß - Algorithmus.
Beim Gauß - Algorithmus rechnet man nur mit den Koeffizienten.

	Gauß-Algorithmus:
	Beim Gauß - Algorithmus wird zeilenweise gearbeitet. Zeilen darf man: - vertauschen - mit einer Zahl multiplizieren - durch eine Zahl dividieren - addieren - subtrahieren Werden die Spalten vertauscht,dann müssen auch die Koeffizienten mitgenommen werden. Das Ziel ist es auf eine Dreiecksform zu kommen.

Der Funktionsgraph:

Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zu erhalten sind drei Punkte nötig. Wir erinnern uns: Bei einer linearen Funktion(Gerade) waren es nur zwei Punkte. Um den Graphen einer Parabel sauber zeichnen zu können, sind außer den vorgegebenen drei Punkten noch der Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte nötig. Wenn wir zudem auch noch die Symmetrie zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt berücksichtigen, benötigen wir in den meisten Fällen keine weiteren Punkte.

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Parabel durch drei Punkte Überprüfen Sie das Ergebnis.

Sonderfälle bei Parabeln

In einigen Fällen können wir die Funktionsgleichung mit weniger Angaben bestimmen.

	Beispiel:
	Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) und zeichnen Sie den Graphen.

	Beispiel:
	Aus der Angabe, dass der Größte Funktionswert 3 ist, kann man schließen, das die Parabel nach unten geöffnet ist. Was die Rechnung auch bestätigt.

	Beispiel:
	Bestimmen Sie den Funktionsterm und zeichnen Sie den Graphen.

Anwendungsbeispiel

Der Parabelförmige Bogen einer Brücke mit der Spannweite 40 m hat eine maximale Höhe von 10 m.
Berechnen Sie die Längen der 7 in gleichen Abständen vertikal angebrachten Spannstäbe.

	Modellierung:
	Wird das Koordinatensystem so gewählt, dann sind folgende Punkte bekannt.

	Lösung: