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Achsenschnittpunkte, p-q-Formel
und Linearfaktoren
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Achsenschnittpunkte

des_029 Bei der Betrachtung des Graphen in nebenstehender Abbildung fallen einige Punkte besonders auf.

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Schnittpunkt mit der y - Achse

Der Graph schneidet die y - Achse im Punkt Py.
Für jeden Punkt, der auf der y - Achse liegt, ist die x - Koordinate Null.

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In diesem Fall hätten wir die y - Koordinate auch direkt aus der Funktionsgleichung ablesen können. Das ist aber nicht immer möglich, wie folgendes Beispiel zeigt.

  Beispiel:
  f_0212

Schnittpunkt mit der x - Achse

Der Graph schneidet die x - Achse in den Punkten Px1 und Px2.
Für jeden Punkt, der auf der x - Achse liegt, ist die y - Koordinate Null.

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Training:
Nullstellenbestimmung über die quadratische Ergänzung.

Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) einer Parabel (ganzrationale Funktion 2. Grades).
Bestimmen Sie für folgende Parabeln die Nullstellen und die Achsenschnittpunkte.
Zeichnen Sie den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunktes.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
Ausführliches Beispiel

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Parabelanalysator
Geben Sie die Koeffizienten ein und überprüfen Sie die Achsenschnittpunkte.

Bemerkungen zum Betrag

Jemand gewinnt 120 €, wir sagen auch er gewinnt einen Geldbetrag von 120 €.
Jemand bekommt einen Strafzettel über 120 €, wir sagen auch er hat einen Geldbetrag von 120 € zu zahlen.
In beiden Fällen handelt es sich um 120 €.
Finanztechnisch bedeutet der Gewinn ein Plus und die Strafe ein Minus.

Der Betrag einer Zahl ist mathematisch immer positiv.

Soll der Betrag einer Variablen bestimmt werden, so brauchen wir eine Rechenvorschrift.

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  Beispiel:
  f_0215

Zu weiteren Betrachtungen zeichnen wir den Graphen unserer Beispielfunktion.

mc_029 Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel, deren Scheitel in den Punkt S ( 3 | - 4 ) verschoben wurde.

Der Schnittpunkt mit der y - Achse ist Py ( 0 | 5 )

Die Schnittpunkte mit der x - Achse sind Px1 ( 1 | 0 ) und Px2 ( 5 | 0 )
Die Schnittpunkte mit der x - Achse nennen wir Nullstellen der Funktion f(x), da dort gilt: f (1) = 0 und f (5) = 0.

Definitions - und Wertemenge

Oft will man den Verlauf eines Graphen nur in einem bestimmten Bereich betrachten.
Das führt zu den Begriffen Definitionsmenge und Wertemenge.

Unsere Beispielfunktion soll nur im Bereich der x - Werte von x = -1 bis x = +6 auf die dort auftretenden Funktionswerte untersucht werden.

 
  f_0216

  Die Angabe einer Wertemenge bezieht sich immer auf eine Definitionsmenge.

Zu weiteren Betrachtungen zeichnen wir den Graphen unserer Beispielfunktion.

Die nebenstehende Abbildung zeigt genau den Ausschnitt des Funktionsgraphen, der durch die Definitionsmenge vorgegeben wurde.

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mc_030

Symmetriebetrachtungen

Die abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y - Achse durch den Scheitelpunkt verläuft.

Das gilt für alle Parabeln.
Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitel S( xs | ys ) lautet
x = xs hier x = 3.

Auch die Nullstellen sind symmetrisch zur Symmetrieachse. Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x - Wert des Scheitels berechnet werden.
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Scheitelpunktberechnung über die Nullstellen

 
  f_0218

  Sind die Nullstellen einer quadratischen Funktion bekannt, so ist das arithmetische Mittel dieser die x - Koordinate des Scheitelpunktes.

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Funktionen erkennen
Übung zur Erkennung von Funktionen.

Herleitung der p - q - Formel

Eine Möglichkeit der Nullstellenbestimmung einer Quadratischen Funktion geht über die Lösung einer quadratischen Gleichung mittels quadratischer Ergänzung. Man kann dafür auch eine Lösungsformel entwickeln.

  f_0219

Die Nullstellen unserer Beispielfunktion sollen nun über die p - q - Formel berechnet werden.

  f_0220

Diskriminante und Lösungsmenge

Quadratische Gleichungen sind nicht immer lösbar.

  Beispiel:
  f_0221

Hat die Diskriminante einen negativen Wert, so ist die quadratische Gleichung nicht lösbar, denn Wurzeln sind nur für positive Zahlen definiert.

Quadratische Gleichungen können auch nur eine Lösung besitzen.

  Beispiel:
  f_0222

Zusammenfassung f_0223

Lösungsmenge und Funktionsgraph

Welche Bedeutung hat die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung auf den Verlauf des Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion?
In den Beispielen hatten wir drei quadratische Gleichungen, mit jeweils zwei, keiner oder nur einer Lösung.
Wir zeichnen die dazugehörigen Funktionsgraphen .

   
 
mc_032


Zwei Nullstellen
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Eine Nullstelle
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Keine Nullstelle

Bei zwei Nullstellen schneidet der Funktionsgraph die x - Achse zweimal.
Bei einer Nullstelle berührt der Funktionsgraph die x - Achse mit dem Scheitel.
Liegt keine Nullstelle vor, so liegt der Scheitel einer nach oben geöffneten Parabel oberhalb der x - Achse, der Scheitel einer nach unten geöffneten Parabel unterhalb der x - Achse.

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Nullstellenfinder
Mit diesem JavaScript lassen sich Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades bestimmen.
Der Funktionsgraph wird gezeichnet.

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Parabelplotter
Überprüfen Sie obiges Ergebnis. Wählen Sie beim 3. Beispiel den Modus Überzeichnen.

Der Satz von Vieta

Satz f_0224

Beweis Der Beweis folgt durch direkte Rechnung:
f_0225 f_0226

Dieser Satz ist ganz nützlich für die Ergebniskontrolle der Lösung einer quadratischen Gleichung.

  Beispiel:
  f_0227

Nullstellen und Linearfaktoren

  f_0228

Eine quadratische Gleichung von der die Nullstellen bekannt sind, kann auch als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden.

Satz Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Für die quadratische Gleichung unserer Beispielfunktion bedeutet das:
f_0229

Nun können wir selber quadratische Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen konstruieren:

Es soll eine quadratische Funktion mit den Nullstellen x1 = -2 und x2 = 3 entwickelt werden, die nach unten geöffnet ist und den Formfaktor ¾ besitzt.

f_0230 mc_035

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Parabelanalysator
Nach Eingabe der Koeffizienten der Funktionsgleichung, wird die Parabel analysiert, dann kann sie gezeichnet werden.