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Formfaktor, Verschiebungen
und Scheitelpunkt
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Einführung

Jeder, der sich auf die Führerscheinprüfung vorbereitet sollte wissen, dass sich der Anhalteweg eines bremsenden Autos auf trockener asphaltierter Straße aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammensetzt.
Nach folgenden Faustregeln lassen sich aus der Geschwindigkeit v in km/h der Reaktionsweg r und der Bremsweg b in Meter berechnen.

Achtung: Mitteilung der Rheinischen Post vom 3.3.04
Ab 1. Juli 2004 wird der Anhalteweg auf einer trockenen asphaltierten Straße mit einem anderen Bremsweg berechnet.
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Bemerkung zu den Einheiten der Faustformel:
Der Brems - bzw. Reaktionsweg kommt in Meter (m) heraus, wenn die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h) eingesetzt wird.

a) Bestimmen Sie für beide Fälle die Funktionsgleichung s = f(v), mit der für jede gefahrene Geschwindigkeit der Anhalteweg berechnet werden kann.

b) Stellen Sie für beide Fälle in einer Wertetabelle für folgende gefahrene Geschwindigkeiten v = 0, 10, 20, 30, ... 100 km/h die jeweiligen Anhaltewege s zusammen.

c) Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem.

d) Kommentieren Sie das Gesamtergebnis.

Problemlösung:

a) Die Funktionsgleichung
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b) Die Wertetabelle
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c) Die Graphen
mc_024
Die x - Achse stellt die jeweils gefahrene Geschwindigkeit in km/h da.
Die y - Achse stellt den jeweiligen Anhalteweg in m da.

d) Der Kommentar
Nach der neuen Verordnung wird der Unterschied mit zunehmender Geschwindigkeit immer größer. Bei 50 km/h beträgt der neue Anhalteweg 27,5 m, das sind etwa 69% des alten Weges von 40 m. Bei 100 km/h beträgt der neue Anhalteweg nur noch 80 m, das sind etwa 61% des alten Weges von 130 m. Die Verringerung des Bremsweges ist wegen der besseren Bremsen (ABS)sinnvoll.

Bei genauer Betrachtung der Funktionsgleichungen und der Graphen stellen wir fest, das es sich weder um lineare Funktionen, noch um Geraden handelt.

Die Funktionsgleichungen haben die Form:
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Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.
Die Graphen werden Parabeln genannt.

Training:
Wertetabelle und Parabel zeichnen.

Zeichnen Sie die Graphen folgender Parabeln.
Legen Sie dazu eine Wertetabelle an.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
Ausführliches Beispiel

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Parabelanalysator
Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse.

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Wertetabelle erstellen
Falls nötig, überprüfen Sie auch Ihre Wertetabelle.

Normalparabel, Formfaktor und Verschiebungen

  Arbeitsauftrag
  f_0194

mc_025 Die Funktionsgleichungen der abgebildeten Parabeln unterscheiden sich nur durch den Koeffizienten a2 von x2.

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Dieser Koeffizient a2 ist für die Form der Parabel verantwortlich und heißt demnach Formfaktor.

Der Scheitelpunkt S hat dieKoordinaten S ( 0 | 0 ).

Wie beeinflusst der Formfaktor die Gestalt der Parabel?

f_0196

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Parabelplotter
Nach Eingabe der Koeffizienten der Funktionsgleichung, kann die Parabel gezeichnet werden.

  Arbeitsauftrag
  f_0197

mc_026 Es handelt sich dabei um eine verschobene Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um a0 Einheiten verschoben wurde.

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Die Verschiebung erfolgt längs der Ordinatenachse, wobei die Richtung der Verschiebung durch das Vorzeichen von a0 bestimmt wird.

Der Scheitelpunkt S hat dieKoordinaten S ( 0 | a0 ).

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Parabelplotter
Nach Eingabe der Koeffizienten der Funktionsgleichung, kann die Parabel gezeichnet werden.

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  f_0199

mc_027
Es handelt sich um eine verschobene Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um u Einheiten auf der x - Achse verschoben wurde. Der Scheitelpunkt S hat die Koordinaten S ( -u | 0 )
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Funktionenplotter
Geben Sie die drei Funktionsgleichungen ein und betrachten Sie die Graphen.

  Arbeitsauftrag
  f_0201

mc_028
Der Graph von f2 (x) ist wieder eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um zwei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach oben verschoben ist.

Der Graph von f3 (x) ist ebenfalls eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um eine Einheit nach links und um zwei Einheiten nach unten verschoben ist.

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nennt man Scheitelpunktform der quadratischen Funktion.

Der Graph der Funktion ist eine Normalparabel, die um den Wert u in Richtung der Abszissenachse und um a0 in Richtung der Ordinatenachse verschoben ist.

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Geben Sie die drei Funktionsgleichungen ein und betrachten Sie die Graphen.

Bisher haben wir nur die Normalparabel verschoben.
Die gleichen Verschiebungen lassen sich auch mit einer beliebigen Parabel durchführen.
Dabei ist dann der Formfaktor a2 zu berücksichtigen.

  f_0204

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Funktionen erkennen
Übung zur Erkennung von Funktionen.

Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung

Wir wissen bereits das gilt:
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Durch eine Termumformung der allgemeinen Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln.

  Beispiel:
  f_0206

  Beispiel:
  f_0207

  Beispiel:
  f_0208

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Parabelanalysator
Stellen Sie die Ergebnisse graphisch dar.

Training:
Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung.

Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) einer Parabel (ganzrationale Funktion 2. Grades).
Bestimmen Sie für folgende Parabeln die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt.
Zeichnen Sie den Graphen.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
Ausführliches Beispiel