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Funktionen in der Mathematik

Bei der mathematischen Betrachtung natürlicher, technischer oder auch alltäglicher Vorgänge hängt der Wert einer Größe oft vom Wert einer anderen Größe ab, wie zum Beispiel der Benzinverbrauch eines Autos von der gefahrenen Geschwindigkeit. Einfache Zusammenhänge dieser Art wurden bereits in der Sekundarstufe I tabellarisch zusammengestellt und graphisch in einem Koordinatensystem dargestellt.

  Beispiele:
  Der Preis einer Ware hängt von der verkauften Menge ab.
  Die Gemessene Außentemperatur hängt von der Tageszeit ab.
  Der zurückgelegte Weg eines Radfahrers hängt bei gleichbleibender Geschwindigkeit von der Fahrzeit ab.
  Der Bremsweg eines Fahrzeugs hängt im wesentlichen von seiner Geschwindigkeit ab.
  Das Wachstum eines Kindes hängt von seinem jeweiligen Alter ab.
  Die Note einer Mathematikarbeit hängt von der erreichten Punktzahl ab.
  Der Zinsertrag eines Kapitals hängt bei festem Zinssatz von der Laufzeit ab.

Übung 1: Finden Sie weitere Beispiele für solche Abhängigkeiten.

Aus obigem Beispiel ist zu ersehen, das jeweils zwei Größen einander zugeordnet werden.

Menge   x_rechtspfeil   Preis   Die verkaufte Menge beeinflusst den Preis.
Tageszeit   x_rechtspfeil   Temperatur   Die Tageszeit hat einen Einfluss auf die gemessene Temperatur.
Punktzahl   x_rechtspfeil   Note   Die in einer Klausur erreichte Punktzahl hat einen Einfluss auf die Note.

Übung 2: Formulieren Sie für die restlichen Beispiele und für die, die Sie bei der Übung 1 gefunden haben die Zusammenhänge.

Die einander zugeordneten Größen nennt man Variablen.
Dabei ist zu überlegen, welche Abhängigkeit zwischen den Variablen besteht.

Die Note einer Mathematikarbeit hängt aus Sicht des Lehrers von der erreichten Punktzahl ab, nicht aber die Punktzahl von der Note.
Man bezeichnet daher die Note auch als abhängige Variable und die Punktzahl als unabhängige Variable.
Es besteht ein funktionaler Zusammenhang zwischen der Punktzahl und der Note.

Wie aus der Sekundarstufe I bekannt, gibt es mehrere Möglichkeiten den funktionalen Zusammenhang zweier Variablen zu beschreiben, bzw. darzustellen.
Das soll nun am Beispiel des Bremswegs eines Autos gezeigt werden.

Für verschiedene Geschwindigkeiten wird der Bremsweg gemessen und in eine Wertetabelle eingetragen.
f_0431

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Wertetabelle erstellen
Mit diesem JavaScript lässt sich eine Wertetabelle für ganzrationale Funktionen bis 4. Grades erstellen.

Trägt man die Tabellenwerte in ein Koordinatensystem ein, so erhält man, nachdem die Punkte miteinander verbunden wurden, den Graphen der Funktion, die den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Bremsweg beschreibt.
Auf der waagerechten Achse, auch Abszisse genannt findet man die Werte der unabhängigen Variablen x, auf der senkrechten Achse auch Ordinate genannt, findet man die Werte der abhängigen Variablen y = f(x).

mc_074

Übung 3: Tragen Sie entsprechend der Wertetabelle die Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem und verbinden Sie diese zu einem Graphen.
Bestimmen Sie durch ablesen den Bremsweg für die Geschwindigkeiten 30 ; 50 ; 70 ; 90 und 110 km/h.
Die Polizei misst einen Bremsweg von 90 m.
Mit welcher Geschwindigkeit fuhr das Fahrzeug?

Oft ist es auch möglich den funktionalen Zusammenhang durch eine Funktionsgleichung darzustellen.
Für den Bremsweg gilt: y = f(x) = 0,01 x2.
Dabei steht y = f(x) für den Bremsweg und besagt, dass die y- Koordinate im Koordinatensystem von der Variablen x abhängt, also eine Funktion der unabhängigen Variablen x ist.
f(x) = 0,01 x2 ist die Funktionsgleichung, welche die Vorschrift angibt, wie die Werte für die abhängige Variable f(x) zu bilden sind.
Statt Funktionsgleichung sagt man auch f(x) = 0,01 x2 ist die Funktionsvorschrift.

Übung 4: Berechnen Sie die abgelesenen Werte, wenn die Funktionsgleichung f(x) = 0,01 x2 lautet.

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Funktionenplotter
Der Funktions-Plotter ist ein für viele Zwecke nützliches Werkzeug. Sie können beliebige Funktions-Terme eingeben, die zugehörigen Graphen betrachten und den Bildausschnitt durch Zoomen verändern. Mit seiner Hilfe können Sie sich schnell über die Form von Graphen orientieren, aber auch interessante Punkte wie die Nullstellen einer Funktion oder die Schnittpunkte mehrerer Graphen (d.h. die Lösungen der entsprechenden Gleichungen) mit einer hohen Genauigkeit numerisch ermitteln.

Nach dem bisher erarbeiteten lässt sich sagen:

Definition Bei einer Funktion wird jedem Wert der unabhängigen Variablen x genau ein Funktionswert f(x) zugeordnet. Man sagt auch das es sich bei einer Funktion um eine eindeutige Zuordnung handelt.
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Wird in Zukunft von einer Funktion gesprochen, dann soll zur Beschreibung dieser lediglich die Funktionsgleichung angegeben werden, also nur noch f(x) = .....

Der Name der Funktion ist f.
Die Schreibweise x → f(x) verdeutlicht, dass zu jedem x- Wert ein bestimmter Funktionswert gehört.
Die Funktionsgleichung f (x) = x - 1 gibt die Rechenvorschrift an, wie die Funktionswerte zu bilden sind.

Um die Eindeutigkeit der Zuordnung noch mal aufzuzeigen, folgendes Beispiel:
Jeder Schüler hat eine bestimmte Schuhgröße. Dabei ist es unerheblich dass mehrere Schüler die gleiche Schuhgröße haben.
Die Eindeutigkeit bezieht sich auf Schüler → Schuhgröße.
Ausgedrückt durch Variablen heißt das, der Name des Schülers bildet die unabhängige Variable, die ihm zugeordnete Schuhgröße die abhängige Variable.
Umgekehrt ist die Zuordnung der Schuhgröße zu Schülern nicht eindeutig, denn mehrere Schüler können z. B. die Schuhgröße 42 haben.
Eine Funktion dieser Art hat keine Funktionsgleichung, sie kann aber als Mengenbild dargestellt werden.

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Funktion und Funktionsgraph
Dieses Applet ist ein dynamisches Diagramm, das den Zusammenhang zwischen dem Begriff der Funktion als Zuordnung und ihrer anschaulichen Darstellung als Kurve veranschaulicht.

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Temperaturkurve
Diese Animation ist der Vertiefung der Begriffe der Funktion und des Funktionsgraphen gewidmet. Sie illustriert die Bedeutung des Graphen für den Fall, dass die unabhängige Variable die Zeit ist. Die BenutzerInnen können per Schieberegler die Lufttemperatur als Funktion der Zeit selbst simulieren und das Zustandekommen des Graphen beobachten.

Beispiele mathematischer Funktionen und Funktionsgleichungen

   
 
mc_075 mc_076
Lineare Funktion (Gerade) Quadratische Funktion (Parabel)

   
 
mc_077 mc_078
Ganzrationale Funktion 3. Grades Ganzrationale Funktion 4. Grades

   
 
mc_079 mc_080
Exponentialfunktionen Wurzelfunktion

   
 
mc_081 mc_082
Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen

   
 
mc_083 mc_084
exponentielles abklingen exponentielle Sättigungskurve

   
 
mc_085 mc_086
Hyperbel punktsymmetrisch Hyperbel achsensymmetrisch

Definitions- und Wertemenge

Definition Die Definitionsmenge D einer Funktion ist die Menge aller unabhängigen Variablen, für die die Funktion definiert ist.
Die Wertemenge W ist die Menge aller Funktionswerte, die aus den Elementen von D entstehen.

  Beispiel
 
f_0432 f_0433
Durch Null darf nicht dividiert werden.

  Beispiel
 
f_0434
Die Funktion kann jeden beliebigen Wert annehmen.
f_0435
Als Funktionswerte treten nur positive Werte auf.

Mathematische Schreibweise bei Funktionsgleichungen und deren Bedeutung

f_0436   Für den Wert der unabhängigen Variablen x = 4 ist der Funktionswert 7.
Das Wertepaar ( 4 | 7 ) bildet die Koordinaten des Punktes P ( 4 | 7 ) im Koordinatensystem.
f_1450   Gesucht wird der x- Wert, zu dem der Funktionswert 9 gehört.
f_1451   y ist der Funktionswert für x = 5.

Zusammenfassung

Eine eindeutige Zuordnung, bei der einer unabhängigen Variablen x aus der Definitionsmenge D genau ein Funktionswert f(x) zugeordnet wird heißt Funktion.

Der funktionale Zusammenhang wird durch eine Funktionsgleichung (z.B. f(x) = 2x + 1 ) beschrieben.
Durch Einsetzen von x- Werten in die Funktionsgleichung erhält man Funktionswerte, die zusammen mit den x- Werten in einer Wertetabelle dargestellt werden können.

Jedes Wertepaar der Tabelle entspricht genau einem Punkt im kartesischen Koordinatensystem.

In vielen Fällen lassen sich die so entstandenen Punkte zu einem Graphen verbinden.
Die Menge aller x- Werte, die in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen heißt Definitionsmenge.
Die Menge aller Funktionswerte, die dabei entstehen, gehören zur Wertemenge W der Funktion.

Lösungen der Übungen

  Übung 1:
  Finden Sie weitere Beispiele für solche Abhängigkeiten.
Lösung:
Die Leistung eines Verbrennungsmotors hängt von der Drehzahl ab.
Die Fläche eines Kreises hängt von seinem Radius ab.
Die Stromrechnung hängt bei konstantem kWh- Preis von der Energiemenge ab.

  Übung 2:
  Formulieren Sie für die restlichen Beispiele und für die, die Sie bei der Übung 1 gefunden haben die Zusammenhänge.
Lösung:
Fahrzeit   x_rechtspfeil   Weg   Bei gleichbleibender Geschwindigkeit beeinflusst die Fahrzeit den zurückgelegten Weg.
Geschwindigkeit   x_rechtspfeil   Bremsweg   Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs beeinflusst die Länge des Bremswegs.
Laufzeit   x_rechtspfeil   Zinsertrag   Die Laufzeit einer Kapitalanlage beeinflusst den Zinsertrag.
Alter   x_rechtspfeil   Wachstum   Das Alter des Kindes beeinflusst sein Wachstum.
Drehzahl   x_rechtspfeil   Leistung   Die Drehzahl eines Verbrennungsmotors beeinflusst die Motorleistung.
Radius   x_rechtspfeil   Fläche   Der Radius eines Kreises beeinflusst seine Fläche.
Energiemenge   x_rechtspfeil   Stromrechnung   Die genutzte Energiemenge beeinflusst die Stromrechnung.

  Übung 3:
  Tragen Sie entsprechend der Wertetabelle die Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem und verbinden Sie diese zu einem Graphen.
Bestimmen Sie durch ablesen den Bremsweg für die Geschwindigkeiten 30 ; 50 ; 70 ; 90 und 110 km/h.
Die Polizei misst einen Bremsweg von 90 m. Mit welcher Geschwindigkeit fuhr das Fahrzeug?

Lösung:
Für die Geschwindigkeit von 30 km/h beträgt der Bremsweg etwa 9 m.
Für die Geschwindigkeit von 50 km/h beträgt der Bremsweg etwa 25 m.
Für die Geschwindigkeit von 70 km/h beträgt der Bremsweg etwa 48 m.
Für die Geschwindigkeit von 90 km/h beträgt der Bremsweg etwa 80 m.
Für die Geschwindigkeit von 110 km/h beträgt der Bremswegetwa 120 m.
Bei einem gemessenen Bremsweg von 90 m fuhr das Fahrzeug mit einer Geschwindigkeit von etwa 95 km/h.

Zur Vorgehensweise:

Die x- Achse (Abszisse) des Koordinatensystems repräsentiert die Menge der unabhängigen Variablen, die y- Achse (Ordinate) die der abhängigen Variablen.

Bevor Wertepaare in ein Koordinatensystem als Punkte eingetragen werden ist immer zu überlegen, welche die unabhängige und welche die abhängige Variable ist.

Weiterhin ist es wichtig einen geeigneten Maßstab für die Skalierung der Achsen zu finden.
Dazu schaut man sich die größten und die kleinsten Werte der Tabelle an und entscheidet in wie viel Teile die beiden Achsen einzuteilen sind.

Hat man dann entsprechend der Wertetabelle alle Punkte in das Koordinatensystem eingetragen, so verbindet man diese Punkte zu einem Graphen.

Nun lassen sich aus dem Graphen auch für solche x- Werte, die nicht in der Wertetabelle vorkommen, die entsprechenden Funktionswerte mehr oder weniger genau ablesen.

Umgekehrt kann man für einen bestimmten Funktionswert auch den zugehörigen x- Wert ablesen. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt davon ab, wie genau der Graph gezeichnet wurde.

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  Übung 4:
  Berechnen Sie die abgelesenen Werte, wenn die Funktionsgleichung f (x) = 0,01 x2 lautet.
Lösung:
Die Funktionswerte werden berechnet, indem man die entsprechenden x- Werte in die Funktionsgleichung einsetzt.
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Bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h beträgt der Bremsweg 9 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h beträgt der Bremsweg 25 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h beträgt der Bremsweg 49 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90 km/h beträgt der Bremsweg 81 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110 km/h beträgt der Bremsweg 121 m.

Gemessen wurde ein Bremsweg von 90 m, gesucht ist die Geschwindigkeit.
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Nur der positive Wert ist in Bezug der Aufgabenstellung sinnvoll, da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten. Bei einem gemessenen Bremsweg von 90 m betrug die Geschwindigkeit etwa 94,9 km/h.

Bemerkung:
Erst die Rechnung liefert genaue Werte, dennoch ist es sinnvoll, die berechneten Werte durch ablesen aus dem Graphen zu kontrollieren.

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Funktionale Abhängigkeiten verstehen
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Funktion und Funktionsgraph
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Graphen zeichnen
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