Anwendungen der Exponentialfunktion  Aufstellen der Funktionsgleichung  Übungsaufgabe  Spezielle Beispiele zur e- Funktion  Die Zahl e, der natürliche Logarithmus und die e- Funktion Feedback     Interesse an einer CD ?     Empfehlung

Aufstellen der Funktionsgleichung

Coli - Bakterien verrichten ihre Arbeit im menschlichen Darm.
Sie vermehren sich durch Zellteilung.
Unter günstigen Bedingungen teilen sie sich alle 20 Minuten.
Für diesen Vorgang stellen wir eine Wertetabelle auf und zeichnen den Graphen.
Dabei steht die Variable x für die Zeit in Minuten.
Die Variable y gibt die Anzahl der Bakterien an.

Nun besteht die Aufgabe darin, den funktionalen Zusammenhang in Form einer Funktionsgleichung f(x) zu bestimmen. Alle 20 Minuten verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wir müssen also die vorhandene Anzahl nach jeweils 20 Minuten mit 2 multiplizieren.

Dabei ist f(x) die Anzahl der Bakterien und x die Zahl der Minuten.
Bei dieser Funktionsgleichung würde sich die Bakterienzahl jede Minute verdoppeln.
Durch Überlegung gelangen wir zu folgender Funktionsgleichung, die den Sachverhalt richtig beschreibt:

Vermehrungen, wie wir sie gerade betrachtet haben, werden als exponentielles Wachstum bezeichnet. Eine Funktion, die solch einen Vorgang beschreibt, nennt man Exponentialfunktion.

Übungsaufgabe

Wie müsste die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion unter folgenden Bedingungen aussehen:

a)	Alle 15 min verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien.
b)	Alle 30 min verdreifacht sich die Anzahl der Bakterien.
c)	Wir beginnen mit der Beobachtung, wenn schon n0 = 1000 000 000 Bakterien vorhanden sind und die Anzahl sich alle 45 min verfünffacht.
d)	Bei Beobachtungsbeginn sind n0 = 100 000 Bakterien vorhanden und alle 45 min nimmt die Anzahl der Bakterien um den Faktor e = 2,718 zu.
e)	Alle 10 min. halbiert sich die Anzahl n0.

Lösung:

a)		b)
c)
d)
e)

Merke

Funktionen, die Wachstumsprozesse beschreiben, heißen Exponentialfunktionen. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

Exponentielles Wachstum oder exponentielle Abnahme kann man in vielen Lebensbereichen beobachten:
In der Biologie (Zunahme und Abnahme von Bakterien),
in der Ökologie (Populationen von Tieren),
in der Wirtschaftslehre (Kapitalzuwachs durch Zinseszinz),
bei physikalisch - technischen Problemen (Zerfall radioaktiver Substanzen),
in der Medizin (Wirkung von Medikamenten).

Spezielle Beispiele zur e- Funktion

Exponentielles Wachstum

Der Bestand von Bakterien vermehrt sich nach einer e - Funktion.

Auf welchen Wert wächst der Bestand von n₀ = 2000 Bakterien in 4 Stunden.
Nach wie viel Stunden sind es 10 000 Bakterien?
Wie sieht der Funktionsgraph aus?

Zur Wiederholung: Logarithmengesetze, Exponentialgleichungen

Exponentielle Abnahme

Radioaktive Stoffe zerfallen in gleichen Zeitspannen jeweils mit demselben Faktor.
Ihre Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit nur noch die Hälfte der ursprünglichen Aktivität vorhanden ist. Die Aktivität A(x) wird gemessen in Megabecquerel ( 1 MBq = 10⁶ Zerfälle pro Sekunde).
Für medizinische Untersuchungen wird Jod 131 mit einer Halbwertszeit ( t_h ) von 8 Tagen verwendet. Dabei werden dem Patienten A₀ = 4000 MBq verabreicht.
Nach wie viel Halbwertzeiten bzw. Tagen beträgt die Restaktivität im Körper höchstens noch 400 MBq?
Zeichnen Sie den Graphen, lesen Sie die ungefähre Zeit ab und berechnen Sie den genauen Wert.

Nach etwa 27 Tagen, etwas mehr als nach 3 Halbwertszeiten beträgt die Restaktivität im Körper noch etwa 400 MBq.

Die Zahl e, der natürliche Logarithmus und die e - Funktion.

Die Graphen verlaufen von II nach I Ist der Exponent positiv, so ist der Graph monoton steigend. Ist der Exponent negativ, so ist der Graph monoton fallend. Es gibt keine Nullstellen. Für große x - Beträge nähert sich der Graph immer mehr der x - Achse. Alle Graphen verlaufen durch den Punkt P ( 0 | 1 ).

Jede Exponentialfunktion kann durch die e - Funktion beschrieben werden.

Aus diesem Grund wird in den folgenden Kapiteln als Exponentialfunktion nur noch die e- Funktion betrachtet.