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Exponentialfunktionen
und die e- Funktion
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Einführung

Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf.

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Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt heißen Exponentialfunktionen.

Beispiele für Exponentialfunktionen:

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Die Zahlen 1,5 ; 2 ; 2,5 ; e und 3 bilden die Basen und x den Exponenten.
Die Basis e ist als Eulersche Zahl bekannt und hat näherungsweise den Wert 2,71828.
Sie wird bei weiteren Betrachtungen noch eine wichtige Rolle spielen.

Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen
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Der in farbiger Darstellung rot erscheinende stark hervorgehobene Graph gehört zu der Exponentialfunktion mit der Basis e, auch e- Funktion genannt.

Auffälligkeiten:

  • Alle im Koordinatensystem dargestellten Graphen schneiden die y- Achse im Punkt Py ( 0 | 1 ).
  • Für große negative x- Werte nähern sich alle Graphen beliebig der x- Achse. Die negative x- Achse wird in einem solchen Fall Asymptote genannt. Man sagt auch, die Graphen nähern sich für große negative x- Werte asymptotisch der x- Achse.
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    Für große positive x- Werte wachsen die Funktionswerte über alle Grenzen.
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  • Alle Funktionswerte der im Koordinatensystem dargestellten Graphen sind positiv, da für Exponentialfunktionen nur positive Basen zugelassen werden. Das bedeutet es gibt in diesem Fall keine Nullstellen.

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Graphen einiger Exponential- und Logarithmusfunktionen
Externer Link zu
http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/graphen3/s.html

Woher kommt die Zahl e?

Mit Hilfe der Zinseszinsrechnung soll die Zahl e entwickelt werden.

Dabei wird die in jeder Formelsammlung enthaltene Zinseszinsformel verwendet.

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Das Kapital soll sich bei jährlicher Verzinsung verdoppeln. Es ist also ein Zinsfuß von p = 100% zu wählen so dass p/100 = 1 ist.

Bei mehreren Zinsabschnitten pro Jahr, wird das Kapital mit Zinseszins mehrfach verzinst. Dabei ist der Zinsfuß durch die Anzahl der Zinsabschnitte zu teilen.

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Die meisten Taschenrechner haben eine e- Funktionstaste, ähnlich wie die pi - Taste. Der Zahlenwert der Eulerschen Zahl ist ein unendlich nicht periodischer Dezimalbruch. Die Zahl e bildet die Basis der e- Funktion.

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Der Wert von e auf 3 Stellen gerundet: e = 2,718
Der Wert von e auf 9 Stellen gerundet e = 2,718 281 828

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Zur Definition der Eulerschen Zahl e
Externer Link zu
http://www.mathe-online.at/galerie/log/n_EulerscheZahl.html

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Die e- Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Extremwerte und auch keine Wendepunkte.

Spiegelung, Verschiebung und Streckung der e- Funktion

Ähnlich wie aus der Normalparabel durch entsprechende Operationen andere Parabeln entstehen können lassen sich aus der e- Funktion durch Verschiebung, Streckung und Spiegelung des Graphen andere Exponentialfunktionen gewinnen.

Spiegelung
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Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
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Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

Verschiebung in y- Richtung
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Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
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Keine Extremwerte und Wendepunkte.
Nullstelle im Intervall [ 0 ; 1 ]

Verschiebung in x- Richtung
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Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
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Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

Streckung (Stauchung) in y- Richtung
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Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

Streckung (Stauchung) in x- Richtung
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Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

Spiegelungen, Verschiebungen und Streckungen der e- Funktion lassen sich beliebig miteinander kombinieren.

Verschiebungen auf der x- und y- Achse:
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f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch:
Verschiebung auf der x- Achse um eine Einheit nach rechts.
Verschiebung auf der y- Achse um zwei Einheiten nach oben.
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f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch:
Verschiebung auf der x- Achse um zwei Einheit nach links.
Verschiebung auf der y- Achse um eine Einheiten nach unten.

Training:
Graphen von e - Funktionen
Ermitteln Sie Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion ex.
Zeichnen Sie jeden Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem und berechnen Sie den Schnittpunkt mit der y- Achse.
Lesen Sie an dem Graphen ab:
Grenzwerte und falls vorhanden Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.
Bemerkung: Berücksichtigen Sie nur die Funktionswerte, die im Intervall [ -10 ; 10 ] liegen.
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