| Funktionenklassen |
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Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der Rationalen Funktionen. In der modernen Mathematik spielen noch weitere Funktionen und Funktionsklassen eine große Rolle. Im nachfolgenden sollen einige Funktionen kurz vorgestellt und der Verlauf deren Graphen prinzipiell dargestellt werden. Für den Bereich der Sozialpädagogik haben e-Funktionen und Logarithmusfunktionen eine gewisse Bedeutung. Auf diese Funktionsklasse soll dann in Verbindung mit der Differential- und Integralrechnung näher eingegangen werden. Als weiteres wären da noch die gebrochenrationalen Funktionen von gewissem Interesse.
Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden.
Die wesentliche Eigenschaft einer Funktion ist:
Jedem Wert der unabhängigen Variablen (x) wird genau ein Funktionswert f(x) zugeordnet.
Die Definitionsmenge (D) einer Funktion ist die Menge aller unabhängigen Variablen, für die die Funktionsgleichung definiert ist.
Die Wertemenge (W) ist die Menge aller Funktionswerte, sie hängt auch von der Definitionsmenge ab.
Ganzrationale Funktionen entstehen durch zusammensetzen von Potenzfunktionen.
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Die Definitionsmenge ist normalerweise die Menge der reellen Zahlen. Eine ganzrationale Funktion n - ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Verlauf des Graphen ganzrationaler Funktionen:
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Gebrochenrationale Funktionen n - ten Grades:
Die Definitionsmenge gebrochenrationaler Funktionen ist eingeschränkt.
Überall dort, wo der Nenner Null wird, ist die Funktion nicht definiert.
Verlauf des Graphen gebrochenrationaler Funktionen:
 Hyperbel punktsymmetrisch |
 Hyperbel achsensymmetrisch |
| Beide Funktionen sind an der Stelle x = 0 nicht definiert. | |
Exponentialfunktionen
 Alle Graphen nebenstehender Exponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt ( 0 | 1 ). Je größer die Basis a ist, desto steiler ist der Kurvenverlauf. |
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 Alle Graphen nebenstehender Exponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt ( 0 | 1 ). Je kleiner die Basis a ist, desto steiler ist der Kurvenverlauf |
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Die e - Funktion als besondere Exponentialfunktion:
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Die Graphen verlaufen von II nach I Ist der Exponent positiv, so ist der Graph monoton steigend. Ist der Exponent negativ, so ist der Graph monoton fallend. Es gibt keine Nullstellen. Für große x - Beträge nähert sich der Graph immer mehr der x - Achse. Alle Graphen verlaufen durch den Punkt P ( 0 | 1 ). 
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| Training: |
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Logarithmusfunktionen
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Logarithmusfunktionen sind nur für positive x - Werte definiert. Alle Graphen verlaufen durch den Punkt P ( 1 | 0 ) Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen |
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| Training: |
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Wurzelfunktionen sind nur für positive x - Werte definiert. Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen |
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Lückentext 01 Interaktiver Test zu Funktionenklassen |
 
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 Für alle x - Werte ist sie positiv. An der Stelle x = 0 ist sie unstetig. |
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Aus allen bisher bekannten Funktionen lassen sich weitere Funktionen zusammensetzen.
Dazu ein paar Beispiele:
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In beiden Fällen ist der Graph der Umkehrfunktion eine Spiegelung der Graphen der Ursprungsfunktion an der Geraden g(x) = x.
Das gilt für alle Funktionen und deren Umkehrfunktionen.
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Funktionenplotter Der Funktions-Plotter ist ein für viele Zwecke nützliches Werkzeug. Sie können beliebige Funktions-Terme eingeben, die zugehörigen Graphen betrachten und den Bildausschnitt durch Zoomen verändern. Mit seiner Hilfe können Sie sich schnell über die Form von Graphen orientieren, aber auch interessante Punkte wie die Nullstellen einer Funktion oder die Schnittpunkte mehrerer Graphen (d.h. die Lösungen der entsprechenden Gleichungen) mit einer hohen Genauigkeit numerisch ermitteln. |
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Funktionen mit Parametern Als Funktionen stehen Polynome 3. Ordnung, die Sinusfunktion, gebrochen rationale Funktion bis 2. Grades und Exponentialfunktionen zur Verfügung. Die Parameterwahl geschieht durch Schieberegler. |
Eigenschaften:
Die Funktion ist achsensymmetrisch.
Die Funktion erreicht in der Mitte bei x = 0 den höchsten Wert.
Nach rechts und links fallen die Werte sehr schnell ab.
Nennenswerte Funktionswerte liegen nur im Bereich von -3 bis +3
Die Ergebnisse von Klassenarbeiten oder psychologischer Tests verteilen sich oft in dieser Form.
Betrachtet man die Fläche unter der Kurve, so beträgt der Anteil, der im Bereich von -1 bis + 1 liegt etwa 68%, das ist etwa 2/3 der Gesamtfläche.
Bei IQ - Messungen haben die meisten Testpersonen einen IQ
zwischen 70 und 130.
Nur wenige liegen darunter oder darüber. So dass der Mittelwert bei etwa 100 liegt.
Um diesen Sachzusammenhang mit der gaußschen Glockenkurve zu veranschaulichen, muss die Mitte zu dem Wert 100 verschoben werden.
Auch die Streuung um den Mittelwert wird berücksichtigt.
Die Transformation der x - Achse erfolgte hier linear mit der Transformationsformel
Vorerst gehen wir hier nicht weiter auf die Parameter ein, das geschieht im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
