Extrempunkte  Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen  Nachweis für Extrempunkte über Vorzeichenwechsel von f'(x)  Nachweis für Extrempunkte mit Hilfe der zweiten Ableitung von f(x)  Zusammenfassung  Kommentiertes Beispiel  Notwendige Bedingung, hinreichende Bedingung  Training: Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten grades  Relative und absolute Extrema  Aufgaben Differenzialrechnung IX Feedback     Interesse an einer CD ?     Empfehlung

Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen

Beim zeichnen eines Funktionsgraphen war es bislang unbefriedigend, den Hochpunkt und den Tiefpunkt nicht zu kennen.
Mit Hilfe der Differentialrechnung wollen wir nun versuchen, dieses Problem zu lösen.

Definitionen

Hochpunkte bzw. Tiefpunkte nennt man Extrempunkte des Graphen von f(x). Der x - Wert eines Extrempunktes heißt Extremstelle, der Funktionswert einer Extremstelle heißt Extremwert. Bemerkung: Statt relatives Maximum schreiben wir rel. Max. Statt relatives Minimum schreiben wir rel. Min. Statt H ( x0 | f(x0) ) schreiben wir PMax ( x0 | f(x0) ) Statt T ( x0 | f(x0) ) schreiben wir PMin ( x0 | f(x0) )

Wie findet man nun die Extrempunkte des Graphen einer Funktion f(x) ?

Eine Tangente, die an einem Extrempunkt einer dort differenzierbaren Funktion angelegt wird, ist immer waagerecht, sie hat die Steigung Null.
Da die Tangentensteigung in einem bestimmten Punkt auch immer die Steigung des Funktionsgraphen in diesem Punkt beschreibt, folgern wir daraus, dass die Steigung des Funktionsgraphen in einem Extrempunkt auch immer gleich Null ist.

Wir erinnern uns daran, dass man aus der Ableitung einer Funktion die Ableitungsfunktion erhält.
Diese beschreibt die Steigung der Funktion an jedem Punkt.
Eine notwendige Bedingung für einen Extremwert ist also, dass die erste Ableitung an diesem Punkt Null ist.

An der Grafik sehen wir, dass an den Extremstellen das Vorzeichen der Steigung wechselt.
Links vom Hochpunkt (relatives Maximum) ist die Steigung positiv und rechts vom relativen Maximum (rel. Max.) ist die Steigung negativ.
Links vom Tiefpunkt (rel. Min.) ist die Steigung negativ und rechts vom rel. Min ist die Steigung positiv.

In einer Umgebung vom rel. Max. bedeutet das für die Ableitungsfunktion, das deren Steigung negativ sein muss.
In einer Umgebung vom rel. Min. bedeutet das für die Ableitungsfunktion, das deren Steigung positiv sein muss.

Der Nachweis ob ein Extrempunkt Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, lässt sich auf zwei Arten führen.

Nachweis für Extrempunkte über Vorzeichenwechsel von f'(x)

Merke

Die Bedingung für eine waagerechte Tangente f'(x) = 0 ist eine notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes, ist dafür aber nicht hinreichend. Erst der Nachweis über einen Vorzeichenwechsel liefert eine hinreichende Bedingung und kennzeichnet den Extrempunkt als rel. Min. oder als rel. Max.

	Beispiel:

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Ableitungsfunktionen Geben Sie einen Funktionsterm ein und finden Sie die Stelle an der f'(x) das Vorzeichen wechselt.

Nachweis für Extrempunkte mit Hilfe der zweiten Ableitung von f(x)

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Ableitungsfunktionen Geben Sie einen Funktionsterm ein und betrachten Sie die erste und die zweite Ableitung.

Zusammenfassung

2. Nachweis auf Hochpunkt (rel. Max.) bzw. Tiefpunkt (rel. Min.) 3. Einsetzen der x - Werte in f(x) liefert die Funktionswerte (y - Werte) der Extrempunkte.

Merke

Der Nachweis über die zweite Ableitung ist in den meisten Fällen der einfachste Weg zum Auffinden der Extrempunkte.

Fassen wir die Bedingungen für Extrempunkte zusammen:

Kommentierte Beispiele

	Beispiel 1:

	Beispiel 2:

Merke

Zur Bestimmung der Extremwerte sind die Werte der Extremstellen möglichst genau in die Funktionsgleichung einzusetzen. Um Punkte in ein Koordinatensystem zu zeichnen, reicht eine Genauigkeit von 2 Stellen hinter dem Komma aus.

Notwendige Bedingung, hinreichende Bedingung

Svenja möchte selbst mit dem Auto zur Schule fahren.
Eine notwendige Bedingung ist, dass sie eine gültige Fahrerlaubnis hat.
Das allein reicht aber nicht aus, sie benötigt auch ein Auto.

Herr Meier hat einen gültigen Führerschein.
In seiner Garage stehen zwei betankte und zugelassene Autos, die ihm gehören.
Dieser Sachverhalt ist hinreichend dafür, dass Herr Meier als Fahrer agiert.
Aber zwei eigene Autos müssen nicht sein.

Petra hat auch einen Führerschein, ihr steht ein fahrbereites, zugelassenes Auto zur Verfügung.
Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend, Petra darf unbesorgt fahren.

Training:

Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten grades Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie ggf. die Extrempunkte. 1. Ergebnis 2. Ergebnis 3. Ergebnis 4. Ergebnis 5. Ergebnis 6. Ergebnis 7. Ergebnis 8. Ergebnis 9. Ergebnis 10. Ergebnis

Relative und absolute Extrema

Bislang sprachen wir nur von einem relativen Minimum, bzw. von einem relativen Maximum. Diese Extrema sind lokal.

Wir betrachten nun eine Funktion auf ihrem maximalen Definitionsbereich D = IR

Das Verhalten der Funktionswerte für immer kleiner werdende x - Werte, bzw. für immer größer werdende x - Werte soll nun betrachtet werden. Für immer kleiner werdende x - Werte werden die Funktionswerte immer größer, gleiches gilt auch für immer größer werdende x - Werte. Wir schreiben:

Ist die gleiche Funktion auf einem Intervall D = [ a ; b ] definiert, dann gilt:

Liegt als Definitionsmenge ein Intervall vor, so sind die Funktionswerte auch an den Randstellen zu untersuchen.

Definition

Ist f ( x0 ) der größte oder kleinste Funktionswert in einer Umgebung von x0 , so ist f ( x0 ) ein relatives Extremum. Ist f ( x0 ) der größte oder der kleinste Funktionswert innerhalb des Definitionsbereichs, so ist f ( x0 ) ein absolutes Extremum.