Die Steigung einer Geraden

Steigungsformel für eine Gerade:

	Beispiel:

Wir überprüfen die Gültigkeit dieser Formel mit obigem Beispiel.

Die Steigung einer Geraden lässt sich also auch mit dem Differenzenquotienten bestimmen.

Sekantensteigung und Tangentensteigung

Problem:
Wie groß ist die Steigung des Graphen einer beliebigen Funktion f(x) im Punkt P₀?

Die Sekantensteigung ist die mittlere Steigung zwischen den Punkten P₀ und P₁.

Was geschieht mit der Sekante, wenn wir den Punkt P₁ immer weiter in Richtung P₀ bewegen?

Die Sekante schmiegt sich immer mehr dem Graphen von f(x) an.
Wenn P₁ auf P₀ trifft, gibt es keine Sekante mehr. Sie ist dann zur Tangente geworden.

Die Tangente ist eine Gerade, die den Graphen von f(x) im Punkt P₀ berührt. Per Definition ist die Steigung eines Graphen in einem Punkt P₀ gleich der Steigung der Tangente an dem Graphen in diesem Punkt.

Differenzenquotient, Differentialquotient Ableitung und Steigungsfunktion

Um die Steigung eines Graphen f(x) an der Stelle x₀ also im Punkt P₀ ( x₀ | f(x₀) ) zu berechnen, lässt man in der Formel für die Sekantensteigung das "delta x" immer kleiner werden, was einer Verschiebung des Punktes P₁ in Richtung P₀ entspricht.

Grenzwertbildung bedeutet "delta x" strebt gegen Null, wird also beliebig klein ohne exakt Null zu werden. Würde man für "delta x" den Wert Null einsetzen, so entstünde ein undefinierter Ausdruck.

Merke

Ableitungsbeispiel:

Statt Ableitungsfunktion f'(x) sagt man auch Steigungsfunktion, da diese Funktion für jeden Funktionswert x die Steigung der abgeleiteten Funktion an der Stelle x angibt. Nebenstehend ist der Graph einer Funktion, sowie der ihrer Ableitungsfunktion in einem Koordinatensystem dargestellt. Beachten Sie: An den Extremstellen ( Hochpunkt, Tiefpunkt) hat die Ableitungsfunktion jeweils den Wert Null. An der Wendestelle (W) hat die Ableitungsfunktion einen Extremwert.

Applet   Auf den Button oder hier klicken

Erste und zweite Ableitung Dieses Applet hilft, die zweite Ableitung (die Änderungsrate der Änderungsrate) einer Funktion zu verstehen.