Von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung

Betrachtet man das Steigungsverhalten der Funktion, so stellt man fest, dass die Steigung der Funktion in fast allen Punkten verschieden ist. In vielen Fachdisziplinen ist es notwendig, das Änderungsverhalten (Steigungsverhalten) von Abläufen (Funktionen) zu untersuchen. So ist die Momentangeschwindigkeit v(t0) in einem Weg - Zeit - Diagramm gleich der Steigung der Funktion in dem betrachteten Augenblick. Mit Hilfe der Differentialrechnung lässt sich das Steigungsproblem lösen. Die Bestimmung der Steigung einer Funktion an einer vorgegebenen Stelle x0 nennt man differenzieren. Zur Lösung des Problems geht man davon aus, zunächst die Steigung ungefähr zu ermitteln. Die Gerade, die die beiden Punkte verbindet, die Sekante, weist eine Steigung auf, die der "mittleren Steigung" der Funktion zwischen den Punkten P1 und P0 entspricht. Diese wird über das Steigungsdreieck bestimmt. Legt man den Punkt P1 näher an P0, so entspricht die Steigung der neuen Sekante schon eher der Steigung der Funktion im Punkt P0, die ermittelt werden soll. Führt man dieses Verfahren konsequent fort, und nähert den Punkt P1 immer mehr dem Punkt P0 an, so entsteht als Grenzlage eine Gerade, die den Funktionsgraphen nur noch im Punkt P0 berührt, die Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt P0. Die Steigung der Tangente entspricht dann genau der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt P0. Simulation dieses Vorgangs Dieses Verfahren kann man mathematisch auch durch einen Grenzwertbildung ausdrücken.

Differenzenquotient und Differentialquotient

Definition

Definition

Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 gibt die Steigung derTangente an, die den Funktionsgraphen im Punkt P0 (x0 | y0) berührt und ist damit zugleich die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt P0 (x0 | y0). Man sagt auch Steigung der Funktion.

Bildung der Ableitung einer Funktion an der Stelle x₀ und der Ableitungsfunktion

Das Ergebnis kann am Graphen der Funktion überprüft werden, in dem man im Punkt die Tangente anlegt und über ein Steigungsdreieck die Steigung ermittelt.

Merke

Wird eine Funktion abgeleitet, so entsteht wieder eine Funktion. Diese wird Ableitungsfunktion genannt. Die Funktionswerte der Ableitungsfunktion stellen die Steigungen der Stammfunktion in jedem Punkt da, deshalb nennt man sie auch Steigungsfunktion.

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Ableitungsfunktionen Bei diesem Java-Applet handelt es sich um einen Funktionen-Plotter, der auf Wunsch auch die Graphen der 1. und 2. Ableitungsfunktion zeichnet.

Beispiele zur Berechnung der Ableitung

	Beispiel 1:

	Beispiel 2:

	Beispiel 3:

	Beispiel 4:

Rechnerisch wurde bisher folgendes ermittelt:

Vergleicht man diese fünf Ableitungen miteinander, so ist zu vermuten, dass folgendes Bildungsgesetz gilt:

Potenzregel (ohne Beweis) 1.) Alten Exponenten als Faktor vor die Variable x setzen. 2.) Neuer Exponent ist alter Exponent vermindert um eins.

	Beispiel:

Konstantenregel Eine Funktion ist zusammengesetzt aus einer elementaren Funktion multipliziert mit einer Konstanten. Dann ist die Ableitung dieser Funktion gleich der Ableitung der Elementarfunktion multipliziert mit der Konstanten.

	Beweis:

	Beispiel:

Ableitungen von Funktionen der Art f(x) = u(x) + v(x)

Summenregel Eine Funktion ist zusammengesetzt aus der Summe zweier Funktionen. Dann ist die Ableitung der Funktion gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

	Beweis:

	Beispiel:

Steigungen in der Landschaft

Stellen wir uns einen Funktionsgraphen als Straße vor, die in einer Landschaft auf- und abführt, so lässt sich schön illustrieren, wie Eigenschaften eines Graphen mit der Ableitung zusammenhängen:

Unterhalb des Straßenverlaufs ist, in einem eigenen Diagramm, die Steigung der Straße in jedem Punkt dargestellt, wodurch sich eine zweite Kurve ergibt.
Sehen Sie sich die Diagramme genau an und versuchen Sie, die Details des zweiten aus den Eigenschaften des ersten zu verstehen.

Wo die Straße ihren niedrigsten Punkt hat, hat die Steigung den Wert 0%, d.h. "für einen Augenblick" ist das Auto, wenn es diesen Punkt passiert, in horizontaler Stellung, und das gleiche gilt für den Berggipfel, über den die Straße führt. Diese beiden Punkte sind genau jene, in denen Bereiche negativer und positiver Steigung aneinander grenzen.

Irgendwo dazwischen gibt es einen Punkt, in dem die Steigung der Straße maximal ist. (in diesem Beispiel 90%). Dementsprechend hat die zweite Kurve dort einen "Gipfel" - es ist aber kein Gipfel in der Landschaft, sondern wenn man so will, ein "Steigungs-Gipfel".

Nun sehen Sie dieselben Kurven wie oben, nur mit den in der Mathematik üblichen Bezeichnungen:

Die erste Kurve ist der Graph der Funktion f(x), die zweite Kurve ist der Graph der Ableitungsfunktion f'(x).
Sehen Sie sich auch diese beiden Diagramme genau an und versuchen Sie, nachzuvollziehen, wie ihre Details miteinander zusammenhängen.

Zwei besondere Punkte des Graphen von f(x) fallen ins Auge: An einem ist f(x) minimal (ein Tiefpunkt), am anderen ist f(x) maximal (ein Hochpunkt). An den entsprechenden Punkten besitzt f(x) Nullstellen.

Jener Punkt, in dem der Graph von f(x) am steilsten ist, heißt Wendepunkt. Da dort die Ableitung von f(x) maximal ist (in diesem Beispiel 0,9), entspricht er einem Hochpunkt von f'(x). Mit freiem Auge ist seine Lage aus der unteren Kurve besser zu bestimmen als aus der oberen.

Aus diesem Beispiel können wir bereits erahnen:
Ist eine Funktion f(x) gegeben, so ist in deren Ableitungsfunktion wertvolle Information über f(x) enthalten.
Sie gibt uns Auskunft über Maxima und Minima (die gemeinsam als "Extrema" bezeichnet werden), sowie darüber, wo der Graph am steilsten ist.

Funktion und Ableitungsfunktion in einem Koordinatensystem

Die Ableitung einer Funktion ist wieder eine Funktion.
Wir nennen sie die Ableitungsfunktion oder auch Steigungsfunktion.

Die Graphen beider Funktionen wurden in ein Koordinatensystem gezeichnet.
Dort, wo f(x) einen Hochpunkt (H), bzw. einen Tiefpunkt (T) hat, schneidet der Graph der Ableitungsfunktion die x - Achse, hat also den Funktionswert Null.
Das leuchtet ein, denn in H und T hat f(x) waagerechte Tangenten, was bedeutet, dass in diesen Punkten die Steigung von f(x) Null ist.
Die Ableitungsfunktion f'(x) hat dort ein Minimum, wo die Steigung von f(x) betrachtet zwischen H und T betragsmäßig am größten ist.

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Erste und zweite Ableitung Dieses Applet hilft, die zweite Ableitung (die Änderungsrate der Änderungsrate) einer Funktion zu verstehen.