Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt

In Segelflugzeugen sind häufig Flugschreiber eingebaut, die die Flughöhe in Abhängigkeit von der Flugzeit automatisch aufzeichnen.

	Aufgabe:
	Vergleichen Sie die Steigung des Graphen im Punkt A mit der Steigung des Graphen im Punkt B.Vergleichen Sie entsprechend die Steigungen des Graphen in den Punkten E und G. Erklären Sie, warum man von der Steigung in einem Punkt sprechen muss. Versuchen Sie ein Maß für die Steigung des Graphen in einem Punkt zu definieren und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigung im Punkt A und im Punkt B.

Bearbeitung:

Die Steigung des Graphen im Punkt B ist größer als die Steigung des Graphen im Punkt A. Die Steigungen in den Punkten E und G sind negativ. Dabei ist die Steigung im Punkt E betragsmäßig kleiner als im Punkt G.

Die Steigung eines Graphen ist nicht überall gleich. Deshalb muss der Punkt angegeben werden in dem die Steigung betrachtet wird. Lediglich die Steigung einer Geraden ist überall gleich. Man kann daher von der Steigung einer Geraden sprechen.

Folgende Definition scheint vernünftig zu sein:

Definition

Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ist gleich der Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt.

Hierbei ist eine Tangente zunächst anschaulich als Gerade definiert, die sich dem Graphen in einer Umgebung des Berührungspunktes möglichst gut anschmiegt.

Durch diese Definition ist die Steigung eines Graphen in einem Punkt zurückgeführt auf die Steigung einer Geraden.

Zur Bestimmung der Steigung des Graphen in den Punkten A und B zeichnen wir jeweils eine Gerade (Tangente) durch diese Punkte, die sich dem Graphen möglichst gut anpasst. Mit Hilfe eines Steigungsdreiecks lässt sich die Steigung grob bestimmen:

Für unser Beispiel hat die Steigung in einem bestimmten Punkt die Bedeutung der momentanen Höhenänderungsrate oder der Steiggeschwindigkeit.

Punkt A: Flugzeit ca. 12,5 min, Steiggeschwindigkeit ca. 10 m / min.
Punkt B: Flugzeit ca. 23,0 min, Steiggeschwindigkeit ca. 19,5 m / min.

Die Tangente ist bisher nur anschaulich als eine Gerade definiert, die sich dem Graphen in einer Umgebung des Berührungspunktes besonders gut anschmiegt. Deswegen konnte die Steigung des Graphen in den Punkten A und B auch nur näherungsweise bestimmt werden. Das ist für die Praxis unbefriedigend.

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Steigung und Tangente Das Applet stellt den Anstieg der Tangente an den Graphen einer Funktion in einem dynamischen Diagramm dar.

Berechnung der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt.

Bekanntlich erhöht ein Zug, der aus einem Bahnhof herausfährt nur langsam seine Geschwindigkeit. Der zurückgelegte Weg (Entfernung vom Bahnhof) wird dabei immer größer. Die Entfernung vom Bahnhof hängt also von der Zeit ab.
Dieser Vorgang kann durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden:

Der Funktionsgraph:

Es soll nun die mittlere Änderungsrate (mittlere Steigung) zwischen der 3. und der 7. Sekunde berechnet werden. Dazu zeichnen wir die entsprechende Sekante ein und berechnen deren Steigung.

Des weiteren soll die Änderungsrate zwischen der 3. und der 4. Sekunde berechnet werden.

Wie groß ist die Änderungsrate in der 3. Sekunde?
Führen Sie Ihre Berechnung der mittleren Steigung so aus, dass der Abstand zwischen den Punkten P₁ und P₀ immer kleiner wird, indem Sie den Punkt P₁ auf den Punkt P₀ zu bewegen.

Die Rechnung zeigt, wenn wir den Punkt P₁ näher an den Punkt P₀ wandern lassen, nähert sich der Wert der Änderungsrate (Steigung) immer mehr dem Wert 3.

Wir erhalten so einen Wert, der der momentanen Änderungsrate immer näher kommt.
Betrachten wir die physikalischen Einheiten in unserem Beispiel, so gilt für die Änderungsrate m/s.
Das ist die Einheit für die Geschwindigkeit.
Das bedeutet, die Änderungsrate in einem Weg - Zeit - Diagramm entspricht der Geschwindigkeit.

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Sekanten- und Tangentensteigung Die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten (Änderungsrate) nähert sich immer mehr der Stigung in einem Punkt (momentane Änderungsrate).

Mathematisches Verfahren zur Berechnung der momentanen Änderungsrate.

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Die Ableitung als Grenzwert Diese Animation veranschaulicht den Grenzübergang Sekante - Tangente.