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Wurzelgleichungen

Gleichungen in denen Wurzelterme vorkommen nennt man Wurzelgleichungen. Im folgenden Beispiel soll das Lösungsverfahren genauer betrachtet werden.

Wie bei allen Gleichungen gehören zur Lösungsmenge von Wurzelgleichungen nur Elemente aus der Definitionsmenge D, die für jede Gleichung zu bestimmen ist.

Rechnung:

Bezeichnet man den linken Wurzelterm mit T1 und den rechten mit T2 so gilt: Da die Definitionsmenge von Quadratwurzeln keine negativen Radikanden in IR zulässt, gilt: Definitionsmenge von T1: Definitionsmenge von T2: Die Definitionsmenge D ist die Schnittmenge der Definitionsmengen, von T1 und T2. Es gehören also nur solche Elemente zur Definitionsmenge, die größer oder gleich -1/5 sind. Zur Bestimmung der Lösungsmenge müssen die in der Gleichung vorkommenden Quadratwurzeln beseitigt werden. Das geschieht durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung. Ausmultiplizieren und Äquivalenzumformungen nach x. Zur Probe wird das Lösungselement in die Wurzelgleichung eingesetzt: Durch das Einsetzen von x = 3 in die Wurzelgleichung ergibt sich eine wahre Aussage, die die Richtigkeit der Lösung bestätigt.

Folgendes Problem kann sich ergeben: Ist das Potenzieren der Quadratwurzeln eine Äquivalenzumformung, oder kann durch das Quadrieren noch ein weiteres Element hinzukommen, das gar nicht zu der ursprünglichen Gleichung gehört?

Durch das Quadrieren ist also das Element -3 zusätzlich hinzugekommen. Es ist daher nicht nur wichtig, sondern unbedingt erforderlich, nach einer Umformung durch Potenzieren auf beiden Seiten der Gleichung die Probe zu machen.

Beispiel:

Das bedeutet, es gibt keinen Wert für x der obige Gleichung erfüllt.

Beispiel:

Beispiel:

Exponentialgleichungen

Aussageformen, bei denen die Lösungsvariable in Exponenten von Wurzeln oder Potenzen vorkommen, heißen Exponentialgleichungen oder - ungleichungen.
Die Lösungsmengen solcher Aussageformen lassen sich meistens durch Anwendung der Logarithmengesetze ermitteln.

Beispiel:

Eine Lösung mittels Exponentenvergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Aussageform so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben.

Beispiel

Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, können nicht logarithmiert werden. Man kann versuchen, sie mittels Substitution (Einsetzung einer Ersatzvariablen) zu lösen.

Beispiel