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Mathematischer
Hintergrund
Klassenarbeit 11_IV (Variante 1)
zum Thema Einführung Differentialrechnung
Berufliches Gymnasium JGST 11





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Nr. A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5

Lösungen der Gruppe A

A1 A01
  a) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.
  b) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von f(x).
  Ausführliche Lösungen
  a) Scheitelpunktkoordinaten:
A01a_l
  b) Achsenschnittpunkte:
A01b_l

A2 Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen.
  a) A02a b) A02b
  Ausführliche Lösungen
  a) A02a_l
  b) A02b_l

A3 Wissensfragen
  a) Was verstehen Sie unter der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt?
  b) Beschreiben Sie anschaulich (Skizze) und mit Worten, wie man bei einem Graphen von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung gelangt.
  c) Warum nennt man die Ableitungsfunktion auch Steigungsfunktion?
  d) Wie findet man bei einem Funktionsgraphen die Stellen mit waagerechter Tangente?
  Ausführliche Lösungen
  a) Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt.
  b) A03b_des_l Von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung Bewegt man den Punkt P1 immer weiter auf P0 zu, so ändert sich die Sekantensteigung.

Je mehr man sich dem Punkt P0 nähert, desto mehr nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung.
  c) Die Ableitungsfunktion f'(x) heißt deshalb Steigungsfunktion, weil sie in jedem Punkt die Steigung von f(x) repräsentiert.
  d) Die Stellen mit waagerechter Tangente sind dort zu finden, wo die erste Ableitung den Wert Null hat.

A4 A04
Leiten Sie die Funktion ab und berechnen Sie die Punkte mit waagerechter Tangente.
  Ausführliche Lösung
  A04_l

A5 Der Graph der Funktion f(x) ist näherungsweise die Flugkurve beim Speerwurf.
A05
A05_des
  a) Welche maximale Höhe erreicht der Speer und wie weit ist er dann vom Abwurfpunkt entfernt?
  b) Wie weit vom Abwurfpunkt kommt der Speer wieder auf den Boden?
  c) Welche Höhe hat der Speer in 70 m Entfernung vom Abwurfpunkt?
  Ausführliche Lösungen
  a) A05a_l
Der Speer erreicht eine maximale Höhe von 7 m.
Er ist dann 50 m vom Abwurfpunkt entfernt.
  b) A05b_l
Der Speer kommt 86,6 m von der Abwurfstelle wieder auf den Boden.
  c) A05c_l
Der Speer hat in 70 m Entfernung vom Abwurfpunkt eine Höhe von 5,096 m

Lösungen der Gruppe B

B1 B01
  a) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.
  b) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von f(x).
  Ausführliche Lösungen
  a) Scheitelpunktkoordinaten:
B01a_l
  b) Achsenschnittpunkte:
B01b_l

B2 Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen.
  a) B02a b) B02b
  Ausführliche Lösungen
  a) B02a_l
  b) B02b_l

B3 Wissensfragen
  a) Was verstehen Sie unter der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt?
  b) Beschreiben Sie anschaulich (Skizze) und mit Worten, wie man bei einem Graphen von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung gelangt.
  c) Welche Bedeutung hat die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0?
  d) Wie findet man bei einem Funktionsgraphen die Stellen mit waagerechter Tangente?
  Ausführliche Lösungen
  a) Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt.
  b) B03b_des_l Bewegt man den Punkt P1 immer weiter auf P0 zu, so ändert sich die Sekantensteigung.

Je mehr man sich dem Punkt P0 nähert, desto mehr nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung.
  c) Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangente im Punkt P ( x0 | f(x0) ) und somit auch die Steigung des Graphen von f(x) in diesem Punkt.
  d) Die Stellen mit waagerechter Tangente sind dort zu finden, wo die erste Ableitung den Wert Null hat.

B4 B04
Leiten Sie die Funktion ab und berechnen Sie die Punkte mit waagerechter Tangente.
  Ausführliche Lösung
  B04_l

B5 Der Graph der Funktion f(x) ist näherungsweise die Flugkurve beim Speerwurf.
B05
B05_des
  a) Welche maximale Höhe erreicht der Speer und wie weit ist er dann vom Abwurfpunkt entfernt?
  b) Wie weit vom Abwurfpunkt kommt der Speer wieder auf den Boden?
  c) Welche Höhe hat der Speer in 60 m Entfernung vom Abwurfpunkt?
  Ausführliche Lösungen
  a) B05a_l
Der Speer erreicht eine maximale Höhe von 6 m.
Er ist dann 40 m vom Abwurfpunkt entfernt.
  b) B05b_l
Der Speer kommt 69,3 m von der Abwurfstelle wieder auf den Boden.
  c) B05c_l
Der Speer hat in 70 m Entfernung vom Abwurfpunkt eine Höhe von 3,275 m.

Leistungsbewertung
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