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Mathematischer
Hintergrund
Klassenarbeit 13_II (Variante 1)
zum Thema Stochastik II
Berufliches Gymnasium JGST 13

Ausführliche Lösungen




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Nr. A1 A2 A3 A4 A5 A6

A1 In einer Gruppe von 1000 Personen haben sich 700 prophylaktisch gegen Grippe impfen lassen.
Nach einer bestimmten Zeit wurde jedes Gruppenmitglied danach befragt, wer an einer Grippe erkrankte.
Die Ergebnisse werden in einer 4 - Feldtafel dargestellt.
01_1
Das Ereignis A sei "Person ist geimpft" und das Ereignis B: "Person erkrankt".
Berechnen Sie:
01_2
Was bedeuten die einzelnen Ergebnisse?
  Ausführliche Lösung
  01_0_l
  01_1_l Bei der zufälligen Auswahl einer Person, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine geimpfte Person zu finden 0,7
  01_2_l Bei der zufälligen Auswahl einer Person, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine erkrankte Person zu finden 0,2
  01_3_l Bei der zufälligen Auswahl einer Person, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine trotz Impfung erkrankte Person zu finden 0,08
  01_4_l Eine Person, von der man weiß, dass sie geimpft wurde ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,114 dennoch erkrankt.
  01_5_l Eine Person, von der man weiß, dass sie erkrankt ist, wurde mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 geimpft.
  01_6_l Bei der zufälligen Auswahl einer Person, ist die Wahrscheinlichkeit eine nicht geimpfte und auch erkrankte Person zu finden 0,12
  01_7_l Eine Person, von der man weiß, dass sie nicht geimpft wurde ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 auch erkrankt

A2 In einem Land der dritten Welt sind 20% der Bevölkerung an Aids erkrankt.
Von einem Aids- Test weiß man, dass er nicht ganz sicher ist.
Es können zwei Fehler auftreten.
  i) Bei 96% der Personen, von denen man weiß, das sie erkrankt sind, fällt der Test positiv aus beim Rest wird die Krankheit nicht erkannt.
  ii) Bei 94% der Personen, von denen man weiß, das sie gesund sind, fällt der Test negativ aus, beim Rest wird fälschlicherweise ein Aidsverdacht ausgesprochen.
  a) Stellen Sie nach folgendem Schema eine Vierfeld-Tafel auf:
02a
  b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer erkrankten Person der Test negativ ausfällt?
  c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, von der man weiß, dass bei ihr der Test positiv ausgefallen ist, wirklich an Aids erkrankt ist?
  d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, von der man weiß, dass bei ihr der Test negativ ausgefallen ist, wirklich gesund ist?
  e) Zeichnen Sie den zur Vierfeldtafel gehörenden Baum und tragen Sie in ihm alle auftretenden Wahrscheinlichkeiten mit der genauen Bezeichnung ein. Wie z.B.
02e
Falls nötig, stellen Sie das Ergebnis als Bruch dar.
  Ausführliche Lösungen
  a) Bekannte Daten:
20% der Bevölkerung ist erkrankt:
02a_1_l

Bei 96% der Personen, von denen man weiß, das sie erkrankt sind, fällt der Test positiv aus:
02a_2_l

Bei 94% der Personen, von denen man weiß, das sie gesund sind, fällt der Test negativ aus:
02a_3_l

Berechnung der Tabellenwerte:
02a_4_l
Die restlichen Tabellenwerte lassen sich durch Addition bzw. Subtraktion errechnen.
02a_5_l
  b) 02b_l Ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer erkrankten Person der Test negativ ausfällt.
  c) 02c_l Eine Person, von der man weiß, dass bei ihr der Aids- Test positiv ausgefallen ist, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 (80%) auch tatsächlich erkrankt.
  d) 02d_l Eine Person, von der man weiß, dass bei ihr der Aids- Test negativ ausgefallen ist, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,989 (98,9%) auch tatsächlich gesund.
  e) 02e_des_l

A3 Die Ergebnisse einer repräsentativen Umfrage anlässlich einer Kommunalwahl sind in folgenden Vierfeld- Tafeln dargestellt.
03_1
03_2
Hinweis: Gilt PA(B) = P(B), so beeinflusst das Eintreten des Ereignisses A die Wahrscheinlichkeit von B nicht.
  a) Ist die Wahl einer Partei geschlechtsabhängig?
  b) Ist die Wahl einer Partei vom Alter der Wähler abhängig?
  Ausführliche Lösungen
  a) 03a_l
Die Wahl einer bestimmten Partei geschieht unabhängig vom Geschlecht.
  b) 03b_l
Die Wahl einer bestimmten Partei ist vom Alter des Wählers abhängig.

A4 In einer Obstkiste befinden sich 60 Äpfel, davon sind 12 faul.
Es werden 5 Äpfel entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
A: Alle 5 Äpfel sind einwandfrei.
B: Genau 3 Äpfel sind faul.
C: Alle 5 Äpfel sind faul.
Berechnen Sie auf drei Stellen hinter dem Komma genau und schreiben Sie zu jedem Ereignis einen Antwortsatz.
  Ausführliche Lösung
  Die Anzahl aller Möglichkeiten aus 60 Äpfeln 5 auszuwählen ist
04_0_l
  A 5 aus 48 und 0 aus 12
04_1_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei der Entnahme von 5 Äpfeln, genau 5 einwandfreie zu erhalten, ist etwa 0,314.
  B 2 aus 48 und 3 aus 12
04_2_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei der Entnahme von 5 Äpfeln, genau 3 faule zu erhalten, ist 0,045.
  C 0 aus 48 und 5 aus 12
04_3_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei der Entnahme von 5 Äpfeln, alle 5 faule zu erhalten, ist 0,000145.

A5 In Finnland gibt es ähnlich wie in Deutschland ein Lottospiel.
Statt 6 aus 49 gilt dort 7 aus 37.
  a) A: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 7 richtige?
  b) B: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 5 richtige?
  c) C: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 6 richtige mit Zusatzzahl?
  Ausführliche Lösungen
  a) Die Anzahl der Möglichkeiten 7 Zahlen von insgesamt 7 Gewinnzahlen anzukreuzen und 0 Zahlen von 30 Nicht- Gewinnzahlen anzukreuzen ist:
05a_1_l
Das ist die Anzahl der Möglichkeiten für das Eintreten von A. Damit ist
05a_2_l
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 7 Gewinnzahlen angekreuzt wurden (7 richtige).
  b) Die Anzahl der Möglichkeiten 5 Zahlen von insgesamt 7 Gewinnzahlen anzukreuzen und 2 Zahl von 30 Nicht- Gewinnzahlen anzukreuzen ist:
05b_1_l
Das ist die Anzahl der Möglichkeiten für das Eintreten von B. Damit ist
05b_2_l
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 5 Gewinnzahlen angekreuzt wurden (5 richtige).
  c) 05c_l
Ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 6 richtige mit Zusatzzahl zu haben.

A6 Die Buchstaben des Wortes ANANAS werden geschüttelt und neu geordnet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?
A: Es entsteht wieder das Wort ANANAS
B: Die Buchstabenkombination beginnt mit AAA.
C: Es entsteht ein Wort mit dreifachem A direkt hintereinander.
  Ausführliche Lösung
  ANANAS: Die Anzahl der Möglichkeiten 6 Buchstaben anzuordnen ist 6!
  A Es entsteht wieder das Wort ANANAS
06_1_l
  B Die Buchstabenkombination beginnt mit AAA.
AAAxxx
06_2_l
  C Es entsthet ein Wort mit dreifachem A direkt hintereinander.
AAAxxx oder xAAAxx oder xxAAAx oder xxxAAA
06_3_l

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