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Mathematischer
Hintergrund
Binomialverteilung III
Ausführliche Lösungen




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Nr. 01 02 03 04

1. Eine Münze wird 100 mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl ist jeweils p = 0,5. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
  A: Es wird genau 52 mal Kopf geworfen.
  B: Mindestens 43 mal wird Kopf geworfen.
  C: Mindestens 38 mal und höchstens 56 mal wird Kopf geworfen.
  D: Weniger als 45 mal wird Kopf geworfen.
  E: Mindestens 40 mal und höchstens 60 mal wird Kopf geworfen.
  F: Mehr als 47 mal wird Kopf geworfen.
  G: Mindestens 45 mal und höchstens 55 mal wird Kopf geworfen.
  H: Es wird genau 50 mal die Zahl geworfen.
  Ausführliche Lösungen
  01_l
  A: Genau 52 mal Kopf {0, ......51, 52, 53, ....., 100}
01a_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, genau 52 mal Kopf zu werfen ist 0,073.
  B: Mindestens 43 mal Kopf {0, .....,42, 43, 44, 45, ....., 100}
01b_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens 43 mal Kopf zu werfen ist 0,933.
  C: Mindestens 38 mal und höchstens 56 mal Kopf {0, .....,37, 38,..., 56, 57, ....., 100}
01c_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens 38 mal und höchstens 56 mal Kopf zu werfen ist 0,897.
  D: Weniger als 45 mal Kopf {0, 1, ..., 44, 45, 46, ....., 100}
01d_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, weniger als 45 mal Kopf zu werfen ist 0,136.
  E: Mindestens 40 mal und höchstens 60 mal Kopf {0, .....,39, 40,..., 60, 61, ....., 100}
01e_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens 40 mal und höchstens 60 mal Kopf zu werfen ist 0,964.
  F: Mehr als 47 mal Kopf {0, .....,47, 48, 49, 50, ....., 100}
01f_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, mehr als 47 mal Kopf zu werfen ist 0,691.
  G: Mindestens 45 mal und höchstens 55 mal Kopf {0, .....,44, 45,..., 55, 56, ....., 100}
01g_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens 45 mal und höchstens 55 mal Kopf zu werfen ist 0,728.
  H: Genau 50 mal Kopf {0, ......49, 50, 51, ....., 100}
01h_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, genau 50 mal Kopf zu werfen ist 0,08.

2. In 50% aller Haushalte in Deutschland sind zwei Autos vorhanden. Für eine Befragung werden 100 Haushalte zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
  A: In weniger als 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.
  B: In genau 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.
  C: In mehr als 40 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.
  D: In mindestens 40 und höchstens 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.
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  A: In weniger als 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden. {0, 1, ..., 59, 60, ..., 100}
02a_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in weniger als 60 Haushalten zwei Autos vorhanden sind, ist 0,972.
  B: In genau 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden {0, ......59, 60, 61, ....., 100}
02b_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in genau 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden sind, ist 0,01.
  C: In mehr als 40 Haushalten sind zwei Autos vorhanden {0, .....,40, 41, 42, ..., 100}
02c_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mehr als 40 Haushalten sind zwei Autos vorhanden sind, ist 0,972.
  D: In mindestens 40 und höchstens 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden
{0, .....,39, 40,..., 60, 61, ....., 100}
02d_l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens 40 und höchstens 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden sind, ist 0,964.

3. Nebenstehende Grafik zeigt eine Binomialverteilung mit verschiedenen Sigma- Umgebungen.
  a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung. 03_des
Binomialverteilung fürn = 200 und p = 0,24.
  b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Sigma -Umgebungen:

03b
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  04bv
  a) 03a_l
  b) Wahrscheinlichkeit der einfachen Sigma- Umgebung.
03b1_l
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,719 (71,9%) liegt die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 42 ; 54 ]. Das entspricht etwa der einfachen Sigma- Umgebung vom Erwartungswert.

Wahrscheinlichkeit der doppelten Sigma- Umgebung.
03b2_l
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,962 (96,2%) liegt die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 36 ; 60 ]. Das entspricht etwa der doppelten Sigma- Umgebung vom Erwartungswert.

Wahrscheinlichkeit der dreifachen Sigma- Umgebung.
03b3_l
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,997 (99,7%) liegt die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 30 ; 66 ]. Das entspricht etwa der dreifachen Sigma- Umgebung vom Erwartungswert.

4. Nebenstehende Grafik zeigt eine Binomialverteilung mit verschiedenen Prozent- Umgebungsradien.
  Wie groß ist jeweils der Radius,
der zu einer 90%, 95% bzw. 99% Umgebung gehört?

Drücken Sie den Radius in Einheiten von Sigma aus.
04
04_des
Binomialverteilung fürn = 200 und p = 0,24.
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  Liegt für die Binomialverteilung eine Tabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten vor, lässt sich das Problem durch Einschachtelung lösen.
04bv
Ansatz für die 90% Wahrscheinlichkeit mit r = 10.
a41_l
Der gesuchte Radius liegt zwischen den Werten 9 und 10. Da es sich bei der Binomialverteilung um eine diskrete Verteilung handelt, muss man sich für den Radius entscheiden, der der gewünschten Wahrscheinlichkeit am nächsten liegt. In diesem Fall ist das der Radius r = 9. Teilt man diesen Wert durch Sigma, dann lässt sich der Radius als vielfaches von Sigma darstellen.
a42_l

Ansatz für die 95% Wahrscheinlichkeit mit r = 12.
a43_l
Der gesuchte Radius liegt zwischen den Werten 11 und 12. Der Radius r = 11 liegt der gewünschten Wahrscheinlichkeit am nächsten.
a44_l

Ansatz für die 99% Wahrscheinlichkeit mit r = 14.
a45_l
Der gesuchte Radius hat den Wert r = 15
a46_l