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Mathematischer
Hintergrund
Binomialverteilung II
Ausführliche Lösungen




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Nr. 01 02 03 04

1. Eine Familie hat 6 Kinder. Die Wahrscheinlichkeit ein Mädchen zu gebären betrage p = 0,5. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, das unter den 6 Kindern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Mädchen sind und zeichnen Sie das Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
  A: Genau die Hälfte der Kinder sind Mädchen.
  B: Höchstens die Hälfte der Kinder sind Mädchen.
  C: Mindestens die Hälfte der Kinder sind Mädchen.
  Ausführliche Lösungen
  Das Problem kann als 6- stufiger Bernoulli- Versuch betrachtet werden mit n = 6 und p = 0,5. Gesucht ist P(X = k) für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
01_l
Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung 01_mc_l
  A: 01a_l
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 6 Kindern genau drei Mädchen sind.
  B: 01b_l
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 6 Kindern höchstens drei Mädchen sind.
  C: 01c_l
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 6 Kindern mindestens drei Mädchen sind.

2. Eine Münze wird 5 mal geworfen. p sei 0,5.
  a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen
X: Anzahl der Wappen.
  b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man
(1) höchstens 3 mal Wappen? (2) weniger als 3 mal Wappen?
(3) mindestens 1 mal Wappen? (4) mehr als einmal Wappen?
  Ausführliche Lösungen
  Das Problem kann als 5- stufiger Bernoulli- Versuch betrachtet werdenmit n = 5 und p = 0,5.
  a) Gesucht ist P(X = k) für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
02a_l
  b)
(1) Höchstens 3 mal Wappen bedeutet:
02b1_l
(2) Weniger als 3 mal Wappen bedeutet:
02b2_l
(3) Mindestens 1 mal Wappen bedeutet:
02b3_l
(4) Mehr als 1 mal Wappen bedeutet:
02b4_l

3. Eine Münze wird 20 mal geworfen.
  a) Zeichnen Sie das Histogramm der Binomialverteilung.
  b) Zu bestimmen sind die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse:
(1) Genau 10 mal Wappen.
(2) Höchstens 15 mal Wappen.
(3) Mindestens 7 mal Wappen.
(4) Mindestens 6 und höchstens 16 mal Wappen.
  c) Zeichnen Sie das Histogramm der kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung
  Ausführliche Lösungen
  a) Histogramm der Binomialverteilung für n = 20 und p = 0,5
03a_mc_l
  b)
(1) Die Wahrscheinlichkeit P(X = 10) kann aus der Tabelle, bzw. aus dem Histogramm abgelesen werden.
03b1_l
(2) Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
E: Höchstens 15 mal Wappen, kann nicht unmittelbar abgelesen werden. Dazu müssen die Tabellenwerte der Wahrscheinlichkeiten aufaddiert werden.
P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 15)
Hat man jedoch eine Tabelle in der die Wahrscheinlichkeiten bereits aufaddiert wurden, also eine kumulierte Tabelle, dann kann man die Wahrscheinlichkeit für E daraus sofort ablesen.
03b21_l
Bemerkung: Für k < 3 ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit natürlich nicht Null. Ebenso sind die Werte für k < 20 auch nicht 1. Sie unterscheiden sich aber kaum noch von diesen Werten, so dass man in den meisten Fällen für praktische Berechnungen die gerundeten Tabellenwerte verwenden kann.

03b22
(3) 03b3_l
(4) 03b4_l
  c) Histogramm der kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung
03c_mc_l

4. Ein Multiple- Choice- Test besteht aus 50 Aufgaben mit jeweils 5 Antworten, von denen nur jeweils eine richtig ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man durch bloßes Raten folgende Anzahl von Aufgaben richtig beantworten?
  a) Mehr als 20 Aufgaben.
  b) Mindestens 10 und höchstens 20 Aufgaben.
  c) Weniger als 10 Aufgaben.
  d) Genau 15 Aufgaben.
    Die Trefferwahrscheinlichkeit pro Aufgabe ist 1/5 = 0,2.

Da diese Wahrscheinlichkeit bei jeder der 50 Aufgaben besteht, kann der Vorgang als 50 stufiger Bernoulliversuch betrachtet werden.
Der Auszug aus der kumulierten Binomialverteilung mit n = 50 und p = 0,2 soll als Hilfestellung genutzt werden.
04
  Ausführliche Lösungen
  a) 04a_l
Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten mehr als 20 Aufgaben richtig zu beantworten ist kleiner als 0,001 (0,1%).
  b) 04b_l
Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten mindestens 10 und höchstens 20 Aufgaben richtig zu beantworten ist 0,556 (55,6%).
  c) 04c_l
Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten weniger als 10 Aufgaben richtig zu beantworten ist 0,444 (44,4%).
  d) 04d_l
Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten genau 15 Aufgaben richtig zu beantworten ist 0,03 (3%).