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Mathematischer
Hintergrund
Ergebnisse und ausführliche Lösungen
Differenzialrechnung zur Vorbereitung der Klassenarbeit VI





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Nr. 01 02 03 04 05 6.1 6.2 6.3 6.4 07 08

1 Ergebnisse:
  a) Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt.
Ausführliche Lösung
  b) 01_b_des_e: Von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung
Ausführliche Lösung
Bewegt man den Punkt P1 immer weiter auf P0 zu, so ändert sich die Sekantensteigung.

Je mehr man sich dem Punkt P0 nähert, desto mehr nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung.

Simulation (interaktiv)
  c) Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangenteim Punkt P ( x0 | f(x0) ) und somit auch die Steigung des Graphen von f(x) in diesem Punkt.
Ausführliche Lösung
  d) Die Ableitungsfunktion f'(x) heißt deshalb Steigungsfunktion, weil sie in jedem Punkt die Steigung von f(x) repräsentiert.
Ausführliche Lösung

2 Ergebnisse:
  a) 02_a_e
Ausführliche Lösung
  b) 02_b_e
Ausführliche Lösung
  c) 02_c_e
Ausführliche Lösung
  d) 02_d_e
Ausführliche Lösung
  e) 02_e_e
Ausführliche Lösung
  f) 02_f_e
Ausführliche Lösung
  g) 02_g_e
Ausführliche Lösung.
  h) 02_h_e
Ausführliche Lösung
  i) 02_i_e
Ausführliche Lösung
  j) 02_j_e
Ausführliche Lösung.

3 Ergebnisse:
  a) 03_a_e
  b) 03_b_e
  c) 03_c_e
  d) Siehe ausführliche Lösung
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnis:
  04_des_e
Ausführliche Lösungen

5 Ergebnisse:
  a) 05_a_e
  b) 05_b_e
  c) 05_c_e
  d) 05_d_e
  e) 05_e_e
  f) 05_f_e
  Ausführliche Lösungen

6.1 Ergebnisse:
  a) Punktsymmetrie, da nur ungerade Exponenten vorkommen
  b) Punkte mit waagerechter Tangente:
06_1_b_e
  c) Achsenschnittpunkte:
06_1_c_e
  d) Siehe ausführliche Lösungen
  Ausführliche Lösungen

6.2 Ergebnisse:
  a) Keine Symmetrie
  b) Punkte mit waagerechter Tangente:
06_2_b_e
  c) Achsenschnittpunkte:
06_2_c_e
  d) Siehe ausführliche Lösungen
  Ausführliche Lösungen

6.3 Ergebnisse:
  a) Achsensymmetrie, da nur gerade Exponenten vorkommen
  b) Punkte mit waagerechter Tangente:
06_3_b_e
  c) Achsenschnittpunkte:
06_3_c_e
  d) Siehe ausführliche Lösungen
  Ausführliche Lösungen

6.4 Ergebnisse:
  a) Keine Symmetrie
  b) Punkte mit waagerechter Tangente:
06_4_b_e
  c) Achsenschnittpunkte:
06_4_c_e
  d) Siehe ausführliche Lösungen
  Ausführliche Lösungen

7 Ergebnisse:
  a) Der Graph von f(x) ist symmetrisch zur y- Achse, da nur gerade Exponenten auftreten.
  b) 07_b_e
  c) 07_c_e
  d) 07_d_e
  e) Wertetabelle siehe "Ausführliche Lösungen"
  f) Graph siehe "Ausführliche Lösungen"



1a Was verstehen Sie unter der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt?
  Ausführliche Lösung
  Bei einer linearen Funktion ist die Steigung in jedem Punkt des Graphen gleich. Sie lässt sich leicht über das Steigungsdreieck berechnen. Funktionen mit gekrümmten Grapen haben fast überall unterschiedliche Steigungen. Über das Steigungsdreieck lässt sich die mittlere Steigung, die Sekantensteigung bestimmen, repräsentiert durch den Differenzenquotienten. Erst die Grenzwertbildung führt von der Sekanten- zur Tangentensteigung. Deshalb ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Man nennt sie auch momentane Änderungsrate.

1b Beschreiben Sie anschaulich (Skizze) und mit Worten, wie man bei einem Graphen von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung gelangt.
  Ausführliche Lösung
  01_b_des_e: Von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung
Verbindet man zwei Punkte eines gekrümmten Graphen durch eine Gerade, so bildet diese die Sekante. Die Sekante stellt die mittlere Steigung des Graphen zwischen diesen beiden Punkten dar. Man sagt dazu auch mittlere Änderungsrate. Will man näherungsweise die Steigung in einem Punkt bestimmen, so müssen die beiden Sekantenpunkte möglichst nahe zusammenliegen. Sie dürfen aber nicht aufeinanderliegen. Bewegt man nun den Punkt P1 immer weiter auf P0 zu, so ändert sich die Sekantensteigung. Je mehr man sich dem Punkt P0 nähert, desto mehr nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung. Erst der Grenzübergang liefert den genauen Wert der Tangentensteigung. Diese repräsentiert die momentane Änderungsrate.

1c Welche Bedeutung hat die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0?
  Ausführliche Lösung
  Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangente im Punkt P ( x0 | f(x0) ) und somit auch die Steigung des Graphen von f(x) in diesem Punkt. Man sagt dazu auch momentane Änderungsrate an der Stelle x0.

1d Warum nennt man die Ableitungsfunktion auch Steigungsfunktion?
  Ausführliche Lösung
  Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung des Graphen von f(x) an dieser Stelle. Da eine stetige Funktion an fast jeder Stelle ableitbar ist, bilden die Ableitungswerte wiederum eine Funktion, die sogenannte Ableitungsfunktion f'(x). f'(x) heißt deshalb auch Steigungsfunktion, weil sie in jedem Punkt die Steigung von f(x) repräsentiert.

2a
Leiten Sie dreimal ab. 02_a
  Ausführliche Lösung
  02_a_l
Die Ableitung einer Konstanten Funktion ist Null. Damit sind auch alle weiteren Ableitungen Null.
2b
Leiten Sie dreimal ab. 02_b
  Ausführliche Lösung
  02_b_l
Es ist sinnvoll vor dem Ableiten den Funktionsterm zu vereinfachen.
2c
Leiten Sie dreimal ab. 02_c
  Ausführliche Lösung
  02_c_l
2d
Leiten Sie dreimal ab. 02_d
  Ausführliche Lösung
  02_d_l
2e
Leiten Sie dreimal ab. 02_e
  Ausführliche Lösung
  02_e_l
Es ist sinnvoll vor dem Ableiten den Funktionsterm zu vereinfachen.
2f
Leiten Sie dreimal ab. 02_f
  Ausführliche Lösung
  02_f_l
Es ist sinnvoll vor dem Ableiten den Funktionsterm zu vereinfachen.
2g
Leiten Sie dreimal ab. 02_g
  Ausführliche Lösung
  02_g_l
2h
Leiten Sie dreimal ab. 02_h
  Ausführliche Lösung
  02_h_l
2i
Leiten Sie dreimal ab. 02_i
  Ausführliche Lösung
  02_i_l
2j
Leiten Sie dreimal ab. 02_j
  Ausführliche Lösung
  02_j_l

3. 03
  a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x)  
  b) Leiten Sie die Funktion f'(x) noch mal ab, so dass daraus die Funktion f''(x) entsteht.
  c) Berechnen Sie die fehlenden Werte der Wertetabelle.
03_c
  d) Zeichnen Sie die Graphen von f(x) ; f'(x) ; und f''(x) in ein geeignetes oder das vorgegebene Koordinatensystem.
  Ausführliche Lösung
 
a) 03_a_e
b) 03_b_e
c) Wertetabelle:
03_c_e
d) 03d_des_e

4. Skizzieren Sie unterhalb des Funktionsgraphen den Graphen der Ableitungsfunktion und markieren Sie in beiden Graphen die charakteristischen Punkte.
  04_des
  Ausführliche Lösung
  04_des_e
Markante Punkte des Graphen von f(x) sind Hochpunkt, Tiefpunkt und der Wendepunkt. Dort, wo f(x) den Hoch- bzw. Tiefpunkt hat, ist der Wert der Ableitungsfunktion Null, da sich an dieser Stelle von f(x) waagerechte Tangenten befinden. Waagerechte Tangente an f(x) bedeutet Steigung von f(x) an diesen Stellen Null. Die Steigung im Wendepunkt ist negativ aber maximal im Intervall zwischen den Extrempunkten. Deshalb hat dort die Ableitungsfunktion ihren Tiefpunkt. Die Funktionswerte der Ableitungsfunktion sind zwischen ihren Nullstellen negativ, außerhalb dieser positiv. Das entspricht genau der Steigung von f(x).

5. Leiten Sie folgende Funktionen 3 mal ab.
  a) 05_a b) 05_b
  c) 05_c d) 05_d
  e) 05_e f) 05_f
  Ausführliche Lösung
  a) 05_a_l
  b) 05_b_l
  c) 05_c_l
  d) 05_d_l
  e) 05_e_l
  f) 05_f_l

6.1
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 06_1
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 061_a_e
b) 061_b_e
c) 061_c_e
d) 061_d_e
061dmc_e

6.2
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 06_2
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 062_a_e
b) 062_b_e
c) 062_c_e
d) 062_d_e
062d_mc_e

6.3
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 06_3
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 063_a_e
b) 063_b_e
c) 063_c_e
Das bedeutet, der Graph berührt an diesen Stellen die x- Achse. Solche Berührungspunkte sind immer auch Punkte mit waagerechter Tangente.
d) 063_d_e
063d_mc_e

6.4
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 06_4
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 064_a_e
b) 064_b_e
c) 064_c_e
d) 064_d_e
064d_mc_e
Bemerkung:
An der Stelle x = 0 hat der Graph von f(x) zwar eine waagerechte Tangente,es liegt dort aber weder ein Hochpunkt, noch ein Tiefpunkt vor.
Das bedeutet, Stellen mit waagerechten Tangenten müssen nicht zwangsläufig Extrempunkte sein. Aber Extrempunkte haben immer waagerechte Tangenten.

7. 07
  a) Ist der Funktionsgraph symmetrisch? Falls ja, welcher Art ist die Symmetrie?
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
  b) Berechnen sie die relativen Extrema (Hochpunkte, Tiefpunkte).
  c) Berechnen Sie die Wendepunkte und die Funktionsgleichungen der Wendetangenten.
  d) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte.
  e) Stellen Sie mit allen bisher bekannten Punkten eine Wertetabelle auf.
  f) Zeichnen Sie den Graphen möglichst genau in ein Koordinatensystem und kennzeichnen Sie die markanten Punkte.
(Falls nötig, erweitern Sie dazu Ihre Wertetabelle um einige Punkte.
Gezeichnet werden soll im Intervall I = [ -5 ; 5 ] Maßstab: 1 cm ist eine Einheit.)
  Ausführliche Lösung
  a) Der Graph von f(x) ist symmetrisch zur y - Achse, da nur gerade Exponenten auftreten.
  b) Extrempunkte:
07_b_l
  c) Wendepunkte und Wendetangenten:
07_c_l
  d) Achsenschnittpunkte:
07_d_l
  e) Wertetabelle:
Funktionswerte wurden mit dem Taschenrechner berechnet.
Aus Symmetriegründen reicht es, nur die Funktionswerte für positive x- Werte zu berechnen.
07_e_l
  f) Die Graphen:
07_f_mc_l

8. Der Graph der Funktion f(x) ist näherungsweise die Flugkurve des Balls bei einem Freistoß in einem Fußballspiel.
08
08_mc
  a) Welche maximale Höhe erreicht der Ball und wie weit ist er dann vom Abschusspunkt entfernt?
  b) Wie weit vom Abschusspunkt kommt der Ball wieder auf den Boden?
  c) In einer Entfernung von 9 Metern befindet sich die Spielerabwehrmauer, sie ist 2 m hoch. Überfliegt der Ball diese?
  d) Der Ball überfliegt die Torlinie in 2 m Höhe. In welcher Entfernung von der Torlinie wurde der Freistoß ausgeführt?
  Ausführliche Lösung
 
a) 08_a_l
Der Ball erreicht eine maximale Höhe von 3 m und ist dann 12 m vom Abschusspunkt entfernt.
b) 08_b_l
Der Ball kommt in einer Entfernung von 18 m vom Abschusspunkt wieder auf den Boden.
c) 08_c_l
Der Ball überfliegt die 2 m hohe Abwehrmauer in einer Höhe von etwa 2,53 m.
d) 08_d_l
Der Freistoß wurde in einer Entfernung von etwa 15,65 m von der Torlinie ausgeführt.