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Mathematischer
Hintergrund
Ergebnisse und ausführliche Lösungen
Differenzialrechnung zur Vorbereitung der Klassenarbeit V





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Nr. 01 02 03 4.1 4.2 4.3 4.4 05

1. Ergebnisse:
  a) 01_a_e
  b) 01_b_e
  c) 01_c_e
  d) Siehe "Ausführliche Lösungen"
  Ausführliche Lösungen

2 Ergebnisse:
  a) Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt.
Ausführliche Lösung
  b) 02_b_des_e
Ausführliche Lösung
Bewegt man den Punkt P1 immer weiter auf P0 zu, so ändert sich die Sekantensteigung.

Je mehr man sich dem Punkt P0 nähert, desto mehr nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung.

Simulation (interaktiv)
  c) Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangenteim Punkt P ( x0 | f(x0) ) und somit auch die Steigung des Graphen von f(x) in diesem Punkt.
Ausführliche Lösung
  d) Die Ableitungsfunktion f'(x) heißt deshalb Steigungsfunktion, weil sie in jedem Punkt die Steigung von f(x) repräsentiert.
Ausführliche Lösung

3 Ergebnisse:
  a) 03a_e
  b) 03b_e
  c) 03c_e
  d) 03d_e
  e) 03e_e
  f) 03f_e
  Ausführliche Lösungen

4.1 Ergebnisse:
  a) Punktsymmetrie, da nur ungerade Exponenten vorkommen
  b) Punkte mit waagerechter Tangente:
04_1_b_e
  c) Achsenschnittpunkte:
04_1_c_e
  d) Siehe ausführliche Lösungen
  Ausführliche Lösungen

4.2 Ergebnisse:
  a) Keine Symmetrie
  b) Punkte mit waagerechter Tangente:
04_2_b_e
  c) Achsenschnittpunkte:
04_2_c_e
  d) Siehe ausführliche Lösungen
  Ausführliche Lösungen

4.3 Ergebnisse:
  a) Achsensymmetrie, da nur gerade Exponenten vorkommen
  b) Punkte mit waagerechter Tangente:
04_3_b_e
  c) Achsenschnittpunkte:
04_3_c_e
  d) Siehe ausführliche Lösungen
  Ausführliche Lösungen

4.4 Ergebnisse:
  a) Keine Symmetrie
  b) Punkte mit waagerechter Tangente:
04_4_b_e
  c) Achsenschnittpunkte:
04_4_c_e
  d) Siehe ausführliche Lösungen
  Ausführliche Lösungen

5 Ergebnisse:
  a) 05a_e
  b) 05b_e
  c) 05c_e
  d) Siehe ausführliche Lösung
  Ausführliche Lösungen



1. Parabel durch 3 Punkte.
  a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) der Parabel, die durch folgende Punkte verläuft:
01_a
  b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.
  c) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von f(x).
  d) Zeichnen Sie die Graphen von f(x) und f'(x) in ein Koordinatensystem.
Parabel durch 3 Punkte (interaktiv)
  Ausführliche Lösung
  a) 01_a_l
  b) Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Extrempunkt.
01_b_l
  c) 01_c_l
  d) 01_d_mc_l

2a Was verstehen Sie unter der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt?
  Ausführliche Lösung
  Bei einer linearen Funktion ist die Steigung in jedem Punkt des Graphen gleich. Sie lässt sich leicht über das Steigungsdreieck berechnen. Funktionen mit gekrümmten Grapen haben fast überall unterschiedliche Steigungen. Über das Steigungsdreieck lässt sich die mittlere Steigung, die Sekantensteigung bestimmen, repräsentiert durch den Differenzenquotienten. Erst die Grenzwertbildung führt von der Sekanten- zur Tangentensteigung. Deshalb ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Man nennt sie auch momentane Änderungsrate.

2b Beschreiben Sie anschaulich (Skizze) und mit Worten, wie man bei einem Graphen von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung gelangt.
  Ausführliche Lösung
  02_b_des_e: Von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung
Verbindet man zwei Punkte eines gekrümmten Graphen durch eine Gerade, so bildet diese die Sekante. Die Sekante stellt die mittlere Steigung des Graphen zwischen diesen beiden Punkten dar. Man sagt dazu auch mittlere Änderungsrate. Will man näherungsweise die Steigung in einem Punkt bestimmen, so müssen die beiden Sekantenpunkte möglichst nahe zusammenliegen. Sie dürfen aber nicht aufeinanderliegen. Bewegt man nun den Punkt P1 immer weiter auf P0 zu, so ändert sich die Sekantensteigung. Je mehr man sich dem Punkt P0 nähert, desto mehr nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung. Erst der Grenzübergang liefert den genauen Wert der Tangentensteigung. Diese repräsentiert die momentane Änderungsrate.

2c Welche Bedeutung hat die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0?
  Ausführliche Lösung
  Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangente im Punkt P ( x0 | f(x0) ) und somit auch die Steigung des Graphen von f(x) in diesem Punkt. Man sagt dazu auch momentane Änderungsrate an der Stelle x0.

2d Warum nennt man die Ableitungsfunktion auch Steigungsfunktion?
  Ausführliche Lösung
  Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung des Graphen von f(x) an dieser Stelle. Da eine stetige Funktion an fast jeder Stelle ableitbar ist, bilden die Ableitungswerte wiederum eine Funktion, die sogenannte Ableitungsfunktion f'(x). f'(x) heißt deshalb auch Steigungsfunktion, weil sie in jedem Punkt die Steigung von f(x) repräsentiert.

3. Leiten Sie folgende Funktionen 3 mal ab.
  a) 03_a b) 03_b
  c) 03_c d) 03_d
  e) 03_e f) 03_f
  Ausführliche Lösung
  a) 03a_l
  b) 03b_l
  c) 03c_l
  d) 03d_l
  e) 03e_l
  f) 03f_l

4.1
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 04_1
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 041_a_e
b) 041_b_e
c) 041_c_e
d) 041_d_e
041dmc_e

4.2
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 04_2
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 042_a_e
b) 042_b_e
c) 042_c_e
d) 042_d_e
042d_mc_e

4.3
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 04_3
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 043_a_e
b) 043_b_e
c) 043_c_e
d) 043_d_e
043d_mc_e

4.4
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 04_4
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 044_a_e
b) 044_b_e
c) 044_c_e
d) 044_d_e
044d_mc_e
Bemerkung:
An der Stelle x = 0 hat der Graph von f(x) zwar eine waagerechte Tangente,es liegt dort aber weder ein Hochpunkt, noch ein Tiefpunkt vor.
Das bedeutet, Stellen mit waagerechten Tangenten müssen nicht zwangsläufig Extrempunkte sein. Aber Extrempunkte haben immer waagerechte Tangenten.

5. 05
  a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x)
  b) Leiten Sie die Funktion f'(x) noch mal ab, so dass daraus die Funktion f''(x) entsteht.
  c) Berechnen Sie die fehlenden Werte der Wertetabelle.
05_c
  d) Zeichnen Sie die Graphen von f(x) ; f'(x) ; und f''(x) in ein geeignetes oder das vorgegebene Koordinatensystem.
  Ausführliche Lösung
 
a) 05a_e
b) 05b_e
c) Wertetabelle:
05c_e
d) 05d_des_e