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Mathematischer
Hintergrund
Ergebnisse und ausführliche Lösungen
Differenzialrechnung zur Vorbereitung der Klassenarbeit II





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Nr. 01 02 03 04

1 Ergebnisse:
  a) 01_a_e
  b) Das Dreieck hat eine Fläche von 8,5 Flächeneinheiten (FE).
  Ausführliche Lösungen

2 Ergebnisse: Ausführliche Lösung
  a) 02_a_e
Ausführliche Lösung
  b) 02_b_e
Ausführliche Lösung
  c) 02_c_e
Ausführliche Lösung
  d) 02_d_e
Ausführliche Lösung
  e) 02_e_e
Ausführliche Lösung
  f) 02_f_e
Ausführliche Lösung

3 Ergebnisse: Ausführliche Lösung
  a) Der Graph von f(x) ist symmetrisch zur y - Achse, da nur gerade Exponenten auftreten.
  b) 03_b_e
Ausführliche Lösung
  c) 03_c_e
Ausführliche Lösung
  d) 03_d_e
Ausführliche Lösung
  e) Wertetabelle siehe Ausführliche Lösung
  f) Graph siehe Ausführliche Lösung
  g) 03_g_e
Ausführliche Lösung
  h) 03_h_e
Ausführliche Lösung
  i) 03_i_e
Ausführliche Lösung

4. Ergebnis:
  04_e
  Ausführliche Lösungen



1. Tangente und Normale
  a) 01_a
Die Gleichungen von Tangente und Normale sollen für x0 = 2 berechnet werden.
  b) Tangente und Normale bilden mit der x- Achse zusammen ein Dreieck.
Berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
  Ausführliche Lösung
  a) 01_a_l
  b) 01_b_l

2. 02
  a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2 ?
  b) 02_b
Geben Sie ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an.
Begründen Sie Ihre Vermutung.
  c) In welchen Punkten hat f(x) eine waagerechte Tangente?
Geben Sie die Gleichung an.
  d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f(x) im Ursprung.
  e) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f(x) im Punkt P ( u | f(u) ).
  f) Welche Gerade schneidet f(x) in Px ( 3 | 0 ) senkrecht ?
  Ausführliche Lösung
  a) 02_a_l
  b) 02_b_l
  c) 02_c_l
  d) 02_d_l
  e) 02_e_l
  f) Die Gerade, die f(x) in Px ( 3 | 0) schneidet, ist die Normale in diesem Punkt.
02_f_l
  Die Graphen:
02_f_mc_l

3. 03
  a) Ist der Funktionsgraph symmetrisch? Falls ja, welcher Art ist die Symmetrie?
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
  b) Berechnen sie die relativen Extrema (Hochpunkte, Tiefpunkte).
  c) Berechnen Sie die Wendepunkte und die Funktionsgleichungen der Wendetangenten.
  d) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte.
  e) Stellen Sie mit allen bisher bekannten Punkten eine Wertetabelle auf.
  f) Zeichnen Sie den Graphen möglichst genau in ein Koordinatensystem und kennzeichnen Sie die markanten Punkte.
(Falls nötig, erweitern Sie dazu Ihre Wertetabelle um einige Punkte.
Gezeichnet werden soll im Intervall I = [ -5 ; 5 ] Maßstab: 1 cm ist eine Einheit.)
  g) Machen Sie eine Aussage über das Monotonieverhalten des Graphen, d.h. geben Sie die Intervalle für monoton wachsend, bzw. monoton fallend an.
  h) Machen Sie eine Aussage über das Krümmungsverhalten des Graphen, d.h. geben Sie die Intervalle für Rechts- bzw. Linkskrümmung an.
  i) Bestimmen Sie die Randpunkte des Definitionsbereiches.
  Ausführliche Lösung
  a) Der Graph von f(x) ist symmetrisch zur y - Achse, da nur gerade Exponenten auftreten.
  b) 03_b_l
  c) 03_c_l
  d) 03_d_l
  e) Funktionswerte wurden mit dem Taschenrechner berechnet.
Aus Symmetriegründen reicht es, nur die Funktionswerte für positive x- Werte zu berechnen.
03_e_l
  f) 03_f_mc_l
  g) 03_g_l Das Monotonieverhalten wurde aus dem Graphen abgelesen.
Änderungen erfolgen an den Extremstellen.
  h) 03_h_l
Das Krümmungsverhalten wurde aus dem Graphen abgelesen.
Änderungen erfolgen an den Wendestellen.
  i) 03_i_l

4. Der Graph einer ganzrationalen Funktion geht durch die Punkte
04
  Berechnen Sie die Funktionsgleichung, die Extrempunkte, den Wendpunkt und die Achsenschnittpunkte.
Stellen Sie eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen so genau wie möglich in ein geeignetes Koordinatensystem.
Falls Ihnen zum Zeichnen Punkte fehlen, so berechnen Sie diese.
  Ausführliche Lösung
  Berechnung der Funktionsgleichung:
04_1_l
  Extrempunkte:
04_2_l
  Wendepunkt:
04_3_l
  Achsenschnittpunkte:
04_4_l
  Wertetabelle:
04_5_l
  Der Graph:
04_mc_l