Aufgaben und Lösungen zur Tangente

Hier findest du Aufgaben und Lösungen zur Tangente. Zuerst gebe ich noch ein paar Erklärungen und Tipps zum Vorgehen.

Überblick:

Mit Klick auf einen der Punkte gelangst du sofort dorthin.

  1. Hilfe zum Lösen der Aufgaben zur Tangente
  2. Aufgaben
  3. Lösungen

1. Tipps zum Lösen der Aufgaben zur Tangente:

Um die Aufgaben zur Tangente zu verstehen, ist folgendes wichtig:
Die Steigung des Graphen einer Funktion f(x) in einem Punkt P(x0|y0), ist gleich der Steigung mt  der Tangente t(x) in diesem Punkt. Außerdem ist diese Steigung gleich der ersten Ableitung in diesem Punkt f'(x0).
Also: Steigung von f(x) in P(x0|y0)
= Steigung mt der Tangente t(x) in P(x0|y0)
= f'(x0) also Ableitung im Punkt P(x0|y0).

Um die Aufgaben zur Tangente zu lösen, errechnet man also y0 indem man x0 in f(x) einsetzt. Damit haben wir die Koordinaten von P(x0|y0).
Dann leitet man f'(x) ab und berechnet den f'(x0).

Für die Tangentengleichung t(x) = mtx + bt brauchen wir noch bt. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
a) Wir setzen die Werte des Punktes P(x0|y0) ein (Siehe auch Berechnung der Funktionsgleichung einer Geraden Fall I):

t(x) = m_t \cdot x + b_t \quad mit \quad t(x_0) = y_0 \Rightarrow m_t \cdot x + b_t = y_0 \Leftrightarrow \underline{\underline{ b_t = y_0 - m_t \cdot x }}

b) Einfacher ist es, wenn wir die erste Ableitung verwenden (Siehe Herleitung der Tangentengleichung):
t(x) = f'(x) \cdot (x - x_0) + f(x_0)
In den Lösungen habe ich diese zweite Methode benutzt.

Dazu kannst du dir das 📽️ Video Tangente im Punkt P berechnen ansehen.

2. Aufgaben zur Tangente:

1. f(x)= x^3-6x^2+9x \quad x_0 =2

2. f(x)=\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{15}{4}x^2+\dfrac{9}{4} \quad x_0 =2

3. f(x) = \dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2-4x + 4 \quad x_0=-1

4. f(x)= x^3+3x^2-2 \quad x_0=1

5. f(x)=\dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{5}{2}x + 3 \quad x_0=1

6. f(x)=x^3 - x^2 - 5x -2 \quad x_0=-\dfrac{3}{2}

7. f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-\dfrac{5}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x+2 \quad x_0=3

8. f(x)=x^3-\dfrac{3}{2}x^2-6x+2 \quad x_0=1

9. f(x)=\dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - 4x + 4 \quad x_0=0 

10. f(x)= \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{3}x^2-4x+4 \quad x_0=1


3. Lösungen

1.

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Die Graphen:
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01_mc_l

2.
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Die Graphen:
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02_mc_l

3.

Berechnung:
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Die Graphen:
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03_mc_l

 

4.

Berechnung:
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Die Graphen:
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04_mc_l

5.

Berechnung:
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Die Graphen:
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05_mc_l

6.

Berechnung:
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Die Graphen:
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06_mc_l

7.

Berechnung:
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Die Graphen:
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07_mc_l

 

8.

Berechnung:
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Die Graphen:
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08_mc_l

9.

Berechnung:
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Die Graphen:
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09_mc_l

10.

Berechnung:
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Die Graphen:
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10_mc_l

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