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Mathematischer
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Differenzialrechnung IX




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Nr. 1a 1b 1c 02 03 04 05 06 7a 7b
  8a 8b 8c 8d 8e 8f 8g

1a
Berechnen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. 01a
  Ausführliche Lösung
  01a_l
Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen.
Also hat f(x) zwei Extrempunkte.
1b
Berechnen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. 01b
  Ausführliche Lösung
  01b_l
Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen.
Also hat f(x) zwei Extrempunkte.
1c
Berechnen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. 01c
  Ausführliche Lösung
  01c_l
Die Ableitung f'(x) hat an der Stelle x1/2 = 0 eine doppelte Nullstelle, das bedeutet, es findet kein Vorzeichenwechsel statt. Also hat f(x) an dieser Stelle keinen Extrempunkt. x3 = 3 ist einfache Nullstelle von f'(x), dort findet ein Vorzeichenwechsel statt.
Also hat f(x) an dieser Stelle einen Extrempunkt.

2. Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x). Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. 02
  Ausführliche Lösung
  02_l
02_mc_l

3. Bestimmen Sie a so, dass die Funktion f(x)in x = 2 eine Extremstelle hat. Um welche Art von Extremstelle handelt es sich dabei? 03
  Ausführliche Lösung
  03_l

4. Gegeben ist eine Funktion f(x). Bestimmen Sie a so, dass der Extrempunkt des Graphen von f(x) auf der x- Achse liegt. Ist der Extrempunkt ein Hoch - oder ein Tiefpunkt? 04
  Ausführliche Lösung
  04_l
04_mc_l

5. Die Funktion f(x) soll keine Extremstellen besitzen. Welche Bedingungen müssen für diesen Fall die Koeffizienten erfüllen und wie viele Nullstellen hat dann f(x)? Begründen Sie Ihre Antwort. 05
  Ausführliche Lösung
  05_l

6. 06
Die Verbindungsgerade von Hoch und Tiefpunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Berechnen Sie den Inhalt der Dreiecksfläche in Abhängigkeit von a. Fertigen Sie zuvor eine Skizze an.
  Ausführliche Lösung
  06_1_l
  06_2_l 06_mc_l

7a
Untersuchen Sie auf Extrempunkte: 07a
  Ausführliche Lösung
  07a_l
7b
Untersuchen Sie auf Extrempunkte: 07b
  Ausführliche Lösung
  07b_l

8a
Berechnen Sie Extrempunkte, Wendepunkte, Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen. 08a
  Ausführliche Lösung
  08a_1_l

08a_2_l

08a_3_l

08a_mc_l
8b
Berechnen Sie Extrempunkte, Wendepunkte, Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen. 08b
  Ausführliche Lösung
  08b_1_l

08b_2_l

08b_3_l

08b_mc_l
8c
Berechnen Sie Extrempunkte, Wendepunkte, Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen. 08c
  Ausführliche Lösung
  08c_1_l

08c_2_l

08c_3_l

08c_mc_l
8d
Berechnen Sie Extrempunkte, Wendepunkte, Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen. 08d
  Ausführliche Lösung
  08d_1_l

08d_2_l

08d_3_l

08d_mc_l
8e
Berechnen Sie Extrempunkte, Wendepunkte, Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen. 08e
  Ausführliche Lösung
  08e_1_l

08e_2_l

08e_3_l

08e_mc_l
8f
Berechnen Sie Extrempunkte, Wendepunkte, Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen. 08f
  Ausführliche Lösung
  08f_1_l

08f_2_l

08f_3_l

08f_mc_l
8g
Berechnen Sie Extrempunkte, Wendepunkte, Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen. 08g
  Ausführliche Lösung
  08g_1_l

08g_2_l

08g_3_l

08g_mc_l