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Mathematischer
Hintergrund
Ganzrationale Funktionen aus gegebenen Bedingungen IV
Ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05

1. Von einer ganzrationalen Funktion 3. Grades sind die drei Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt. Skizzieren Sie den Graphen und bestimmen Sie den Funktionsterm.
01
  Ausführliche Lösung
  Vorüberlegung:
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades kann maximal 3 Nullstellen haben. Zwischen der Nullstelle Px1 und dem Punkt P muss ein Hochpunkt liegen. Zwischen den Nullstellen Px2 und Px3 muss ein Tiefpunkt liegen.
  01_l 01_mc_l

2. Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung und verläuft durch die Punkte P1( 3 | 0 ) und P2( 5 | 5 ).
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung und die Achsenschnittpunkte. Stellen Sie eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
  Die Funktionsgleichung:
Wegen der Punktsymmetrie kann folgender Ansatz gemacht werden:
021_l
  Die Achsenschnittpunkte:
022_l
  Die Werte für die Wertetabelle werden von Hand berechnet:
023_l
  02_mc_l

3. Eine ganzrationale Funktion 3. Grades f(x) hat die Nullstellen Px1, Px2 und Px3. Der Graph der Funktion f(x) verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie f(x). Wie hängt der Graph von f(x) mit dem von g(x) zusammen?
Daten:
03
  Ausführliche Lösung
  03_l
  03_mc_l

4. Aus einem quadratischen Karton der Seitenlänge 30 cm wird durch falten eine Schachtel ohne Deckel mit der Höhe x geformt. 04_des
  a) Zeigen Sie, dass man nur für

0 < x < 15

eine solche Schachtel formen kann.
  b) Bestimmen Sie einen Funktionsterm, der das Volumen V in Abhängigkeit von x beschreibt.
  c) Zeichnen Sie den Graphen und bestimmen Sie näherungsweise das maximale Volumen.
  Ausführliche Lösung
  a) 04a_l
  b) 04b_l
  c) 04c_mc_l
Das maximale Volumen der Schachtel liegt bei etwa 2000 cm3 und gilt für einen x- Abschnitt von etwa 5 cm. Eine exakte Berechnung ist erst mit Hilfe der Differentialrechnung möglich.

5.
Die als Windkraft installierte elektrische Leistung in Deutschland lässt sich nebenstehender Tabelle entnehmen. 05
Leistungsangabe in Gigawatt (GW).
  a) Ermitteln Sie eine Funktion, die die Entwicklung beschreibt.
  b) Erstellen Sie eine Prognose für die Jahre 2006 und 2010.
  c) Vergleichen Sie die Funktionswerte mit einer installierten Leistung von 20,9 GW in 2006 und dem Ziel von 30 GW in 2010.
  Ausführliche Lösung
  a) Ansatz:
Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte.
Der Beginn der Zählung 2002 wird als Nullpunkt definiert.
05a_l
  b) Prognosen in GW:
05b_l
  c) Für 2006 übersteigt die Prognose mit 21,2 GW die tatsächlich installierte Leistung von 20,9 GW geringfügig.
Für 2010 übersteigt die Prognose mit 30,4 GW die bis dahin möglicherweise installierte Leistung von 30 GW ebenfalls nur geringfügig.