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Mathematischer
Hintergrund
Nullstellen berechnen und Graphen ganzrationaler Funktionen zeichnen
Ausführliche Lösungen





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Nr. 1a 1b 2a 2b 2c 2d 2e 2f 2g 2h
  03 04 05

1a Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung. Skizzieren Sie den Graphen, wenn dieser
01a
  Ausführliche Lösung
  Symmetrie zum Ursprung bedeutet Punktsymmetrie.

01a_l
Mit diesen 4 Punkten lässt sich der Graph skizzieren.
01a_mc_l
1b Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung. Skizzieren Sie den Graphen, wenn dieser
01b
  Ausführliche Lösung
  Der Graph ist punktsymmetrisch.
Die Steigung des Graphen im Nullpunkt ist gleich der Steigung der Geraden g(x) = 3x.

Der Graph durchläuft die Quadranten in der Reihenfolge II - III - I - IV
01b_mc_l

2a
Gegeben ist die Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D = IR. Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, berechnen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen. 02a
  Ausführliche Lösung
 
Verlauf: III - IV - I
02a_mc_l
2b
Gegeben ist die Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D = IR. Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, berechnen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen. 02b
  Ausführliche Lösung
 
02b_l
Verlauf: III - I - IV - I
02b_mc_l
2c
Gegeben ist die Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D = IR. Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, berechnen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen. 02c
  Ausführliche Lösung
  02c_l 02c_mc_l
Verlauf: III - II - I
2d
Gegeben ist die Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D = IR. Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, berechnen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen. 02d
  Ausführliche Lösung
  02d_l
Verlauf: III - II - IV - I
02d_mc_l
2e
Gegeben ist die Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D = IR. Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, berechnen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen. 02e
  Ausführliche Lösung
  02e_l
Verlauf: III - I
02e_mc_l
2f
Gegeben ist die Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D = IR. Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, berechnen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen. 02f
  Ausführliche Lösung
  02f_l
Verlauf: II - III - I - IV
02f_mc_l
2g
Gegeben ist die Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D = IR. Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, berechnen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen. 02g
  Ausführliche Lösung
  02g_l
Verlauf: III - I
02g_mc_l
2h
Gegeben ist die Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D = IR. Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, berechnen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen. 02h
  Ausführliche Lösung
  02h1_l 02h_mc_l
02h2_l
Verlauf: II - I - IV - I - IV

3.
Gegeben ist die Funktion 03
  a) 03a
Begründen Sie, dass f(x) nur eine Nullstelle hat. Wie muss der Graph verschoben werden, damit er genau zwei Nullstellen hat?
Wie muss der Graph verschoben werden, damit er genau zwei Nullstellen hat?
03_mc
  b) Die Gerade x = u schneidet den Graphen von f(x) im Punkt Q und die x- Achse in P.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks 0PQ für u = 2.
Geben Sie einen Term für den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von u für u > 0 an.
  c) 03c
  Ausführliche Lösung
  a) 03a1_l

Der Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten bedeutet, dass im Intervall ( -2 ; -1 ) eine Nullstelle liegen muss. Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat mindestens eine Nullstelle. Da der Tiefpunkt des Graphen von f(x) oberhalb der x- Achse liegt, kann er nur eine Nullstelle haben. Soll der Graph g(x) genau zwei Nullstellen haben, so muss der Graph von f(x) um 2 LE oder um 6 LE nach unten verschoben werden. Es existieren also 2 Möglichkeiten:

03a2_l
03a_mc_l
  b) 03b_des_l 03b_l
  c) Die Funktion g(x) = 3f(x) hat die gleichen Nullstellen wie f(x).
Begründung:
03c_l

4. Gegeben ist die Funktion f(x). Zeigen Sie: x = 0,4 ist eine Nullstelle. Berechnen Sie weitere Nullstellen.
04
  Ausführliche Lösung
  04_l

5. Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von der Variablen c.
05
  Ausführliche Lösung
  051_l
Es können maximal 3 Nullstellen auftreten.
P( 0 | 0 ) ist unabhängig von c immer Nullstelle.
Zu untersuchen ist also der Klammerausdruck.
052_l
Zusammenfassung:
Für c > 0,5 hat f(x) genau eine Nullstelle: Px( 0 | 0 ).
Für c = 0,5 oder c = 0 hat f(x) genau zwei Nullstellen.
Für c < 0,5 und c ungleich Null hat f(x) genau drei Nullstellen.