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Mathematischer
Hintergrund
Eigenschaften von Potenzfunktionen
Ergebnisse und teils ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07

1. Betrachten Sie die Graphen nebenstehender Potenzfunktionen im 1. Quadranten.

Für x- Werte zwischen 0 und 1 liegt der Graph einer Potenzfunktion höheren Grades unterhalb des Graphen einer Potenzfunktion niederen Grades.

Für x > 1 ist das genau umgekehrt.
Begründen Sie dieses Verhalten.
01_mc
  Ergebnis
  Multipliziert man eine Zahl, die kleiner als 1 ist, mit sich selbst, wird das Ergebnis immer kleiner.
Multipliziert man eine Zahl, die größer als 1 ist, mit sich selbst, wird das Ergebnis immer größer.

2. Der Graph der Potenzfunktion 3. Grades soll um 2 Einheiten nach links und anschließend um 3 Einheiten nach oben verschoben werden.
  Geben Sie die Funktionsgleichung für den verschobenen Graphen an.
  Ausführliche Lösung
  02_l 02_mc_l

3. Der Graph der Potenzfunktion vierten Grades soll um 3 Einheiten nach rechts verschoben und anschließend um den Faktor 2 gestreckt werden.
  a) Geben Sie die Funktionsgleichung für den verschobenen Graphen an.
  b) Weisen Sie nach, dass der Graph weder achsen- noch punktsymmetrisch ist.
  Ausführliche Lösung
  a) 03a_l
03a_mc_l
  b) 03b_l

4. Bei welcher Potenzfunktion f(x) = xn gehört der Punkt P zum Graphen?
Geben Sie die Gleichung dieser Potenzfunktion an.
  a) 04a b) 04b c) 04_c d) 04d
  e) 04e f) 04f g) 04g h) 04h
  Ergebnisse
  a) 04a_e
  b) 04b_e
  c) 04c_e
  d) 04d_e
  e) 04e_e
  f) 04f_e
  g) 04g_e
  h) 04h_e

5. Bestimmen Sie die Symmetrie und den Verlauf der Graphen folgender Potenzfunktionen und geben Sie jeweils die Wertemenge und den Grad an.
  a) 05a b) 05b c) 05c
  d) 05d e) 05e f) 05f
  Ergebnisse
  a) 05a_e
  b) 05b_e
  c) 05c_e
  d) 05d_e
  e) 05e_e
  f) 05f_e

6. Stellen Sie folgende Funktionsgleichungen durch Polynome dar.
Geben Sie jeweils den Grad an.
  a) 06a b) 06b
  c) 06c d) 06d
  e) 06e f) 06f
  Ergebnisse
  a) 06a_e
  b) 06b_e
  c) 06c_e
  d) 06d_e
  e) 06e_e
  f) 06f_e

7. Begründen Sie:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad schneidet die x- Achse mindestens einmal.
Gilt das auch wenn der Grad gerade ist?
  Ausführliche Lösung
  Der Graph einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad verläuft entweder von III nach I oder von II nach IV. Dabei wird in jedem Fall die x- Achse mindestens einmal geschnitten (mind. eine Nullstelle).
Der Graph einer ganzrationalen Funktion mit geradem Grad verläuft entweder von II nach I oder von III nach IV. Dabei wird die x- Achse nicht notwendigerweise geschnitten (keine Nullstelle).