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Mathematischer
Hintergrund
Quadratische Funktionen vermischt Teil I
Ergebnisse und teils ausführliche Lösungen





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Nr. 1 2 3 4 5

1a. Stellen Sie die Funktionsgleichungen auf und bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte von f(x) und g(x). 01a
  Ausführliche Lösung
  01a_l
1b. Stellen Sie die Funktionsgleichungen auf und bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte von f(x) und g(x). 01b
  Ausführliche Lösung
  Bestimmung der Funktionsgleichungen wie unter a)
01b_l

2.
Zwei Parabeln mit den Funktionen f1 und f2 schneiden sich in den Punkten P1 und P2.
Berechnen Sie:
02
  a) Die Schnittpunkte P1 und P2.
  b) Die Funktionsgleichung der Schnittgeraden [ P1 P2 ] mit y = f3(x).
  c) Die Scheitelpunkte S1 und S2.
  d) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen.
  Ergebnisse
  a) Die Schnittpunkte P1 und P2:
02a_l
d) 02d_mc_l
  b) Die Funktionsgleichung der Schnittgeraden [ P1 P2 ] mit f3(x):
02b_l
  c) die Scheitelpunkte S1 und S2:
02c_l

3. Ein Fußweg verläuft unterhalb einer Hochstraße parallel zu ihr. Am Fuß einer Brücke mit parabelförmigen Bogen soll ein Fußweg in Form einer Rampe errichtet werden, die zur Straße hinaufführt. Ermitteln Sie die Höhe der Stützpfeiler für die Rampe. Von der Parabel ist lediglich bekannt, dass sie den Formfaktor 1/20 besitzt.
  03_des: Brücke mit Fußweg aud Stützpfeiler
  Ausführliche Lösung
  Modellierung:
03_des_l: Modellierung der Brücke
  Aufstellen der Funktionsgleichungen:
031_l
Um die Höhe der Stützpfeiler zu erhalten benötigen wir die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel.
  Berechnung der Schnittpunkte:
032_l
Der Pfeiler h1 hat die Höhe 3,764 m, der Pfeiler h2 hat die Höhe 7,433 m.

Soll der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Parabel bestimmt werden, so führt das immer auf eine quadratische Gleichung.

4. Amortisationsrechnung
  Ein Billigkühlschrank kostet 250 €, er verursacht monatlich 10 € Energiekosten. Der Ökokühlschrank kostet hingegen 500 € und verursacht monatlich nur 4 € Energiekosten. Nach wie viel Monaten hat sich der Ökokühlschrank bezahlt gemacht?
Hinweis: Beide Kostenkurven stellen Geraden dar, deren Schnittpunkt zu bestimmen ist.
  Ausführliche Lösung
  Hinweis:
Beide Kostenkurven stellen Geraden dar, deren Schnittpunkt zu bestimmen ist.

Aus den gegebenen Daten sind zuerstdie Steigungen beider Geraden zu bestimmen.

041_l
042_l
  Von den so erhaltenen Geraden ist der Schnittpunkt zu bestimmen. Dort herrscht Kostengleichheit.

Ab diesem Zeitpunkt, sind die Kosten fürden Billigkühlschrank größer.

Ergebnis:
Nach 41 2/3 Monaten = 41 Monate 20 Tage = 3 Jahre 5 Monate 20 Tage hat sich der Ökokühlschrank amortisiert.

Die bis dahin entstandenen Gesamtkostenbetragen 666,67 €
04_mc_l: Scnittpunkt zweier Geraden als Amortisationspunkt

5. Gewinnfunktion
  Der Gewinn ist bei den Absatzmengen 2 ME und 10 ME gleich Null. Bei einer Absatzmenge von 4 ME ist er 6 GE.
- Bestimmen Sie die Gewinnfunktion
- Bestimmen Sie bei welcher Absatzmenge sich der größte Gewinn ergibt.
Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Gewinnfunktion (Parabel durch drei Punkte).
Der größte Gewinn entsteht am Scheitelpunkt dieser Parabel.
  Ausführliche Lösung
  Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Gewinnfunktion (Parabel durch drei Punkte).
Der größte Gewinn entsteht am Scheitelpunkt dieser Parabel.
051_l
  Nachdem die Gewinnfunktion ermittelt wurde, ist diese in die Scheitelform umzuformen.
052_l
Bei einer Ausbringung von 6 ME ist der Gewinn mit 8 GE maximal.
  05_mc_l: Parabel als Gewinnfunktion