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Mathematischer
Hintergrund
Text- und Anwendungsaufgaben zu quadratischen Funktionen Teil I
Ergebnisse und teils ausführliche Lösungen





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Nr. 1 2 3 4 5

1. Eine Tordurchfahrt hat die Form einer Parabel.

Sie ist 6 m hoch und 4 m breit.

Ein Fahrzeug ist 3 m breit und 2,20 m hoch.

Kann dieses Fahrzeug die Tordurchfahrt passieren?

Hinweis:
Berechnen Sie zuerst die Funktionsgleichung des Parabelbogens.
01_des: Parabelförmige Tordurchfahrt
  Ausführliche Lösung
  Der Koordinatenursprung wird in die linke untere Ecke des Torbogens gelegt.
011_l
Das Fahrzeug ist 3 m breit. Fährt es mittig durch die Toreinfahrt, so ist der Abstand zur linken unteren Ecke noch 0,5 m. Die Höhe des Torbogens in diesem Bereich ist:
012_l
Das Fahrzeug ist aber nur 2,2 m hoch. Es passt durch die Toreinfahrt.

2. Ein Bogenschütze schießt einen Pfeil senkrecht in die Höhe. Die Höhe h des Pfeils in Abhängigkeit von der Zeit t wird beschrieben durch:
02
  a) Lösen Sie die Gleichung h(t) = 0 und erläutern Sie die Bedeutung der Lösungen.
  b) Zeichnen Sie den Graphen von h(t).
  c) Nach welcher Zeit hat der Pfeil wieder die Abschusshöhe ( h = 2 ) erreicht?
  d) Berechnen Sie die größte Höhe, die der Pfeil erreicht.
  Ausführliche Lösung
  a)
02a_l 02a_des_l: Flugbahn eines abgeschossenen Pfeiles
Bedeutung der beiden Lösungen:
Zur Zeit t = 0 wird der Pfeil von einer Höhe h = 2 m abgeschossen.
Nach der Zeit t = 3,879 s kommt der Pfeil auf dem Boden h = 0 an.
Würde man den Pfeil vom Boden h = 0 aus abschießen, so benötigt er für die ersten 2 m die Zeit 0,128 s.
  b) 02b_mc_l c) 02c_l

Nach t = 3,75 s befindet sich der Pfeil wieder auf der Abschusshöhe von 2 m.
  d) 02d_l
Die größte Höhe 16,063 m wird nach 1,875 s erreicht.

3. 03
Dadurch entsteht jeweils eine neue Parabel.
Geben Sie den zugehörigen Funktionsterm an, wenn es sich um folgende Abbildungen handelt:
  a) Spiegelung an der x- Achse.
  b) Spiegelung an der y- Achse.
  c) Verschiebung um 3 Einheiten in Richtung der positiven x- Achse.
  d) Verschiebung um 2 Einheiten in Richtung der negativen y- Achse.
  e) Streckung mit dem Faktor 4 in y- Richtung.
  Ergebnisse
  a) 03a_e
  b) 03b_e
  c) 03c_e
  d) 03d_e
  e) 03e_e

4. Der Gewinn einer Unternehmung in Abhängigkeit von der hergestellten Menge ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades.
Bei 50 ME ist der Gewinn Null, für 150 ME ist der Gewinn maximal.
Er beträgt dann 60000 €.
  Bestimmen Sie den Funktionsterm der Gewinnfunktion.
  Ausführliche Lösung
  04_l

5. Eine parabelförmige Bogenbrücke hat eine Spannweite von 223 Metern. Ein Wanderer will die Höhe der Brücke bestimmen. Im Abstand von 1,2 Metern zum Fußpunkt der Brücke (durch Fußschrittmessung) ist der Brückenbogen 2,0 Meter hoch (durch Vergleich mit der Körpergröße).
  a) Welche Höhe hat der Brückenbogen maximal?
  b) Um wie viel Prozent ändert sich die ermittelte Brückenhöhe, wenn der Wanderer bei der Fußschrittmessung 10 Zentimeter weniger gemessen hätte?
  Ausführliche Lösung
  a) Die Länge des gesamten Brückenbogens beträgt s = 223 m.
Die y- Achse teilt den Bogen in zwei Hälften, so dass der rechte Fußpunkt bei v = 111, 5 m liegt.
Im ersten Fall ist der Abstand vom Fußpunkt 1,2 m, er liegt also bei
u = 111,5 m - 1,2 m = 110,3 m.
Dort hat der Brückenbogen eine Höhe von 2 m.
Da der Abstand vom Fußpunkt im 2. Fall nur noch 1,1 m betragen soll, ist es sinnvoll, die Rechnung zunächst mit den Variablen u und v allgemein durchzuführen. Die konkreten Werte werden zuletzt eingesetzt.
05a_des_l: Parabelförmige Bogenbrücke

05a1_l

05a2_l
  b) 05b_l
Der Brückenbogen hat im Fall I eine Höhe von etwa hI = 93,419 m.
Im Fall II beträgt die Höhe etwa hII = 101,886 m.
Der prozentuale Unterschied bezogen auf hI beträgt etwa 9,06%.