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Mathematischer
Hintergrund
Grundaufgaben für lineare und quadratische Funktionen I
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

1. Ergebnisse:
 
011_e 012_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnis:
  02_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnis:
  03_e
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnis:
  04_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnis:
  05_e
  Ausführliche Lösungen

6. Ergebnis:
  06_e
  Ausführliche Lösungen

7. Ergebnis:
  07_e
  Ausführliche Lösungen

8. Ergebnis:
  08_e
  Ausführliche Lösungen

9. Ergebnis:
  09_e
  Ausführliche Lösungen

10. Ergebnis:
  10_e
  Ausführliche Lösungen

11. Ergebnisse:
  a) 11a_e b) 11b_e
  Ausführliche Lösungen

1. Achsenschnittpunkte einer Geraden.
  Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte der folgenden Geraden: 01
  Ausführliche Lösungen
  011_l 012_l

2. Gerade mit vorgegebener Steigung durch einen Punkt.
  Die Steigung einer Geraden sei m = 2. Sie soll durch den Punkt P ( -3 | 5 ) verlaufen. Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Geraden.
  Ausführliche Lösung
  02_l
Vorgehensweise:
1. Der Wert der Steigung und die Koordinaten des Punktes P werden in die Funktionsgleichung eingesetzt.
2. Die so entstandene Gleichung wird nach b aufgelöst.

3. Gerade durch 2 Punkte.
  Gegeben sind die Punkte P1 (-3 | 5 )und P2 (2 | -1 ). Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Geraden, die durch diese beiden Punkte verläuft.
  Ausführliche Lösung
  03_l
Vorgehensweise:
1. Die Steigung m wird mit der Steigungsformel berechnet.
2. Die Koordinaten eines der beiden Punkte (hier P2) werden in die Funktionsgleichung eingesetzt.
3. Die so entstandene Gleichung wird nach b aufgelöst.

4. Schnittpunkt zweier Geraden.
  Berechnen Sie den Schnittpunkt zweier Geraden mit den Funktionsgleichungen:
04
  Ausführliche Lösung
  04_l
Vorgehensweise:
Für den Schnittpunkt beider Geraden gilt:
f1(xs) = f2(xs).
Das Gleichsetzen beider Funktionsgleichungen liefert die x- Koordinate des Schnittpunktes.
Den y- Wert erhält man durch Einsetzen des Wertes in eine der beiden Funktionsgleichungen.

5. Die zu einer Geraden senkrecht verlaufende Gerade.
  Berechnen Sie die zu einer Geraden senkrecht verlaufende Gerade durch den Punkt P.
05
  Ausführliche Lösung
  05_l
Vorgehensweise:
Zuerst wird die Steigung m2 der senkrechten Geraden aus der Steigung der bekannten Geraden bestimmt.
051_l
Die x- Koordinate von P wird in die Gleichung eingesetzt. Daraus lässt sich dann b errechnen.

6. Achsenschnittpunkte einer Parabel.
  Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte folgender Parabel und zeichnen Sie den Graphen.
06
Hinweis: Die x- Koordinate des Scheitelpunktes liegt symmetrisch zu den Nullstellen.
  Ausführliche Lösung
  061_l
Vorgehensweise:
Die x- Koordinate des Scheitelpunktes liegt symmetrisch zu den Nullstellen.
Der Schnittpunkt mit der y- Achse hat die x- Koordinate 0, also f(0) = ys.
Schnittpunkte mit der x- Achse haben die y- Koordinate 0, also f(xs) = 0.
Das führt auf eine quadratische Gleichung, deren Lösung die x- Koordinaten derAchsenschnittpunkte sind.
  Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Jede Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die durch den Scheitelpunkt führt.

Falls es Schnittpunkte mit der x- Achse gibt, liegen auch diese symmetrisch zu der Scheitelachse.

Die x- Koordinate des Scheitelpunktesliegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen.
06_mc_l: Parabel nach oben geöffnet

7. Scheitelpunktform, Scheitelpunktkoordinaten.
  Berechnen Sie die Scheitelform der Funktion f(x) und ermitteln Sie die Scheitelkoordinaten.
07
  Ausführliche Lösung
  Der Koeffizient von x2 wird ausgeklammert.

In der eckigen Klammer wird eine quadratische Ergänzung durchgeführt.

Nach Multiplikation mit dem Koeffizienten erhält man die Scheitelpunktform, aus der sich die Scheitelkoordinaten ablesen lassen.
07_l

8. Schnittpunkt von Parabel und Gerade.
  Eine Parabel wird von einer Geraden geschnitten. Bestimmen Sie die Schnittpunkte.
08
  Ausführliche Lösung
  Für den Schnittpunkt der Geraden mit der Parabel gilt:

081_l

Das Gleichsetzen beider Funktionsgleichungen liefert eine quadratische Gleichung. Deren Lösung liefert die x- Koordinaten für den Schnittpunkt.

Die dazugehörigen y- Koordinaten erhält man durch Einsetzen der Werte in f1 oder f2.

08_mc_l: Gerade schneidet Parabel in zwei Punkten
082_l

9. Schnittpunkt zweier Parabeln.
  Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln und den Abstand der Scheitelpunkte.
09
  Ausführliche Lösung
  091_l

Für den Schnittpunkt beider Parabeln gilt:

092_l

Das Gleichsetzen beider Funktionsgleichungen liefert eine quadratische Gleichung. Deren Lösung liefert die x- Koordinaten für den Schnittpunkt.

Die dazugehörigen y- Koordinaten erhält man durch Einsetzen der Werte in f1 oder f2.

Da beide y- Koordinaten auf gleicher Höhe liegen und aus der Symmetrie der Parabel findet man die x- Koordinate der Scheitelpunkte. Damit gelangt man an die Scheitelkoordinaten und kann den Abstand bestimmen.

09_mc_l: Zwei Parabeln schneiden sich
093_l

10. Parabel durch drei Punkte.
  Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Parabel, die durch die Punkte
P1( -1 | -1 ) und P2( 2 | -2 ) sowie P3( 3 | 1 ) verläuft.
  Ausführliche Lösung
  Durch Einsetzen der Koordinaten der drei Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung entsteht ein Gleichungssystem mit drei Variablen.

101_l
Dieses ist mit den Gauß- Algorithmus lösbar und liefert die Koeffizienten a, b und c.

10_mc_l: Parabel durch drei Punkte
102_l

11. Der Gauß- Algorithmus.
Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß- Algorithmus:
  a) 11a b) 11b
  Ausführliche Lösung
  11a_l 11b_l