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Lösung zm_185 word pdf
Mathematischer
Hintergrund
Abiturvorbereitung Aufgabe 10
Aufgabenstellung und ausführliche Lösung





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In einer bestimmten Stadt an einer bestimmten Stelle führt die Polizei in regelmäßigen Abständen in der Nacht von Sonnabend auf Sonntag zwischen 1 Uhr und 4 Uhr Verkehrskontrollen durch. Dabei muss der Fahrer "in die Röhre pusten", um festzustellen, ob der Alkoholgehalt im Blut im gesetzlich erlaubten Rahmen liegt oder nicht. Aus mehrjähriger Erfahrung weiß die Polizei, dass ungefähr 12% aller männlichen und 7% aller weiblichen Fahrer um diese Zeit an dieser Stelle die "Promillegrenze" überschreiten. Wir nennen diese Personen hier kurz "Alkoholsünder". Am letzten Wochenende wurden 100 Verkehrsteilnehmer überprüft. Darunter befanden sich 40 Frauen.
  a) Gehen Sie davon aus, dass die Erfahrungswerte der Polizei stimmen. Stellen Sie diesen Sachverhalt in Form einer Vierfeld- Tafel dar. Berechnen Sie für die zufällige Auswahl einer überprüften Person (die Polizei protokolliert jede Überprüfung) die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Die überprüfte Person ist weiblich und Alkoholsünderin.
B: Die überprüfte Person ist nüchtern.
C: Falls die ausgewählte Person männlich ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt Trunkenheit am Steuer vor?
D: Falls ein Alkoholsünder ausgewählt wurde, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person weiblich?
Formulieren Sie zu jedem Ergebnis einen aussagekräftigen Antwortsatz.
M: männlich, W: weiblich, A: Alkoholsünder N: kein Alkoholsünder (nüchtern)
 
Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass 10% aller Verkehrsteilnehmer, die an der entsprechenden Stelle kontrolliert werden Alkoholsünder sind. Weiterhin wird angenommen, dass die Anzahl der Alkoholsünder in den Kontrollen einer Binomialverteilung genügt.
Eine Tabelle der Binomialverteilung für n = 100 und p = 0,1 ist beigefügt.
  b) Überprüfen Sie, ob für die Verteilungsfunktion der Laplace- Bedingung genügt.
  c) Mit wie vielen Fahrverboten kann die Polizei bei der Überprüfung von 100 Verkehrsteilnehmern rechnen?
  d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert.
  e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Anzahl der Alkoholsünder zwischen 6 und 14?
  f) Die Annahme p = 0,1 für Alkoholsünder soll auf einem Signifikanzniveau von höchstens 5% getestet werden. Bestimmen Sie den Annahme und den Ablehnungsbereich. Überprüfen Sie für den gewählten Ablehnungsbereich den Fehler 1. Art und kommentieren Sie das Ergebnis
  g) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus d), e) und f) mit der Tabelle der Normalverteilung und bestimmen Sie die prozentuale Abweichung der Werte bezogen auf die der Binomialverteilung.
    tab_100_01

Ergebnisse:
  a) a_d_e
A: a_a_e
B: a_b_e
C: a_c_e
D:
  b) Laplace- Bedingung ist mit Sigma = 3 gerade noch erfüllt.
  c) Die Polizei kann mit etwa 10 Fahrverboten rechnen.
  d) Die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert beträgt 0,132.
  e) Die Anzahl der Alkoholsünder liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,869 zwischen 6 und 14 einschließlich.
  f) Siehe ausführliche Lösung.
  g) Siehe ausführliche Lösung.

Ausführliche Lösungen:
  a) a_e_1

a_e_2
Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,028 weiblich und eine Alkoholsünderin.

a_e_3
Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 nüchtern.

a_e_4
Eine zufällig ausgewählte Person, von der man weiß, dass sie männlich ist, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,12 Alkoholsünder.

a_e_5
Eine zufällig ausgewählte Person, von der man weiß, dass sie Alkoholsünder ist,ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,28 weiblich.
  b) Laplace- Bedingung:

b_e
  c) Die Polizei kann bei der Überprüfung von n = 100 Personen mit etwa 10 Fahrverboten rechnen. Das entspricht dem Erwartungswert.
  d) d_e
Die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert beträgt 0,132.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  e) e_e
Die Anzahl der Alkoholsünder liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,869 zwischen 6 und 14 einschließlich.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  f) Hypothesentest:

Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen
Es soll überprüft werden, ob der Anteil der Alkoholsünder bei der nächtlichen Kontrolle 10% beträgt. Da weder eine eindeutige Abweichung nach oben oder nach unten vermutet wird, handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest.
Die Hypothesen lauten:
Nullhypothese: H0: p = 0,1; Alternativhypothese H1: p ≠ 0,1.
Der Ablehnungsbereich, bestimmt durch das Signifikanzniveau von 5%, verteilt sich gleichmäßig auf beide Seiten.


f_e
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
Auswertung:
Der Fehler 1. Art beträgt 0,045. Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 4,5% kann das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich von H0 liegen, so dass in diesem Fall die wahre Hypothese p = 0,1 zu Unrecht verworfen wird.
  g) Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Hilfe der Tabelle für normalverteilte Zufallsvariablen.

g_e_1
Der mit dieser Methode berechnete Wert ist etwa 2,3% zu groß.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20

g_e_2
Der mit dieser Methode berechnete Wert ist etwa 0,35% zu klein.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20

g_e_3
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
Der mit dieser Methode berechnete Wert ist um 0,5% zu klein.

Die Abweichung der Werte für die Normalverteilung von denen der Binomialverteilung ist trotz einer Standardabweichung von 3 sehr gering.

 

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Rechenhelfer für die Binomialverteilung
formel_02 int_02
formel_03 int_03
formel_04 int_04