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Mathematischer
Hintergrund
Abiturvorbereitung Aufgabe 9
Aufgabenstellung und ausführliche Lösung





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Die jährliche Fördermenge (Förderquote) einer Erzmine wird durch folgende Funktionsgleichung beschrieben:
01
Die Variable t steht für Zeit in Jahren und M(t) für die Förderquote in 1000 Tonnen pro Jahr.
Im Jahr 1900 wurde mit einer Förderquote von 6000 Tonnen begonnen.
Im Jahr 1971 erreichte die Förderquote ihr Maximum.
  a) Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktionsgleichung. Wie lautet diese?
  b) In welchem Jahr wurde die Förderung eingestellt?
  c) Welche maximale Förderquote wurde 1971 erreicht?
  d) In welchem Jahr war der Förderquotenzuwachs am größten?
  e) Zeichnen Sie den Graphen von M(t) in ein geeignetes Koordinatensystem und beschreiben Sie die Entwicklung der Förderquote über den gesamten Abbauzeitraum.
  f) Wie viel Erz wurde über den gesamten Abbauzeitraum gefördert?
  g) Wie hoch war die durchschnittliche Förderquote im Zeitraum von 1960 bis 1980?

Lösung:
  a) Parameter und Funktionsgleichung.
a_e
  b) Einstellung der Förderung (Nullstelle).
b_e
Im Jahr 1996 wurde die Förderung eingestellt.
  c) Berechnung der maximalen Förderquote.
c_e
Die maximale Förderquote betrug im Jahr 1971 etwa 26.743 Tonnen/Jahr.
  d) Maximaler Zuwachs der Förderquote (Wendestelle).
d_e
Die Zunahme der Fördequote war 1946 am größten.
  e) e_e
e_mc_e
Der Abbau beginnt 1900 mit einer Förderquote von 6000 Tonnen pro Jahr. Bis zum Jahr 1971 steigt die Förderquote ständig an um dort mit etwa 27000 Tonnen/Jahr ihren Maximalwert zu erreichen. Der größte Anstieg ist im Jahr 1946 zu verzeichnen. Ab 1971 fällt die Förderquote rapide ab. Im Jahr 1996 wird der Abbau beendet.
  f) f_e
  g) Mittelwertbildung für den Zeitraum von 1960 bis 1980.
g_e
Im Zeitraum von 1960 bis 1980 wurden durchschnittlich jährlich 26.048 Tonnen Erz abgebaut.