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Lösung zm_357 word pdf
Mathematischer
Hintergrund
Abiturvorbereitung Aufgabe 4
Aufgabenstellung und ausführliche Lösung





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In einem Laborversuch soll die Entwicklung einer Bakterienkultur mit folgender Exponentialfunktion modelliert werden:
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  a) Bestimmen Sie geeignete Werte für n0, a und k, wenn die Anzahl der Bakterien bei Versuchsbeginn 4 Millionen beträgt und nach x = 8 Stunden auf maximal 12 Millionen angewachsen ist. Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.
  b) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. (I = [ 0 ; 50 ]).
  c) Beschreiben Sie den Entwicklungsverlauf der Bakterienkultur.
  d) Berechnen Sie den Wendepunkt. Interpretieren Sie das Ergebnis in Bezug auf den Laborversuch.
  e) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse im Intervall [ 0 , 8 ]. Welche Bedeutung könnte die Fläche (Anzahl der Bakterien mal Zeit) in Zusammenhang mit dem Laborversuch haben?
  f) Bestimmen Sie die Asymptote für f(x). Von welcher Bedeutung ist diese für den Laborversuch?

Lösung:
  a) a_e_1

Bei Versuchsbeginn ( t = 0 ) sind 4 Mio. Bakterien vorhanden.

a_e_2

Nach 8 Stunden ist die Anzahl auf maximal 12 Mio. angewachsen.

a_e_3
  b) Wertetabelle:
b_e
Der Graph:
b_mc_e
  c) Entwicklungsverlauf der Bakterienkultur.
Bei Versuchsbeginn sind 4 Mio. Bakterien vorhanden. Die Anzahl der Bakterien nimmt anfangs stark zu, um dann nach 8 Stunden ihren Maximalwert von 12 Mio. zu erreichen. Danach verringert sich die Anzahl der Bakterien nach einer abklingenden e- Funktion.
  d) Der Wendepunkt.
Zuerst die drei Ableitungen:
d_e_1

Bedingungen für einen Wendepunkt:
d_e_2

In Bezug auf den Laborversuch bedeutet der Wendepunkt, dass nach 16 Stunden die momentane Abnahme der Anzahl der Bakterien am größten ist.
  e) Flächenberechnung:
e_e

Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse (Anzahl der Bakterien mal Zeit) kann als Wirkungsfaktor aufgefasst werden.
  f) Asymptote:
f_e

Die Asymptote ist die Parallele zur x- Achse im Abstand 4. In Bezug auf den Laborversuch bedeutet das:
Wird der Versuch über eine längere Zeit durchgeführt, so geht die Anzahl der Bakterien auf 4 Mio. zurück.