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Mathematischer
Hintergrund
Brüche und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit
Ergebnisse und Ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
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1. Ergebnisse:
  a) 01a_e b) 01b_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse:
  a) 02a_e b) 02b_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnisse:
  a) 03a_e
Graph siehe Ausführliche Lösungen
b) 03b_e
Graph siehe Ausführliche Lösungen
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnisse: Graphen siehe unter ausführliche Lösungen.
  a) 04a_e b) 04b_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnisse:
  a) 05a_e b) 05b_e
  c) 05c_e d) 05d_e
  Ausführliche Lösungen

6. Ergebnis:
  06_e
  Ausführliche Lösung

7. Ergebnisse:
  a) 07a_e b) 07b_e
  c) 07c_e d) 07d_e
  e) 07e_e f) 07f_e
  Ausführliche Lösungen

8. Ergebnis:
  08_e
  Ausführliche Lösung

9. Ergebnis: Funktionsgraphen sieheAusführliche Lösungen
  09_e
  Ausführliche Lösung

10. Ergebnis: Funktionsgraphen sieheAusführliche Lösungen
  10_e
  Ausführliche Lösung

11. Ergebnisse:
  a) 11a_e b) 11b_e c) 11c_e
  Ausführliche Lösungen

12. Ergebnisse:
  a) 12a_e
  b) Nach etwa 5 Wochen ist kein Kaffee mehr vorhanden.
  c) Nach 4 Wochen sind nur noch 400 g Kaffee vorhanden.
  d) Den Graphen finden Sie unter Ausführliche Lösungen.
  Ausführliche Lösungen

13. Ergebnis:
  Das Grundgehalt beträgt 2656 €, die Überstundenpauschale 21 €.
  Ausführliche Lösung

14. Ergebnisse:
  a) 14a_e
  b) 14b_e
  c) Den Graphen finden Sie unter Ausführliche Lösungen.
  Ausführliche Lösungen

1. Berechnen Sie:
  a) 01a b) 01b
  Ausführliche Lösungen
  a) 01a_l: Bruchrechnung
  b) 01b_l: Bruchrechnung
  Bei der Addition oder Subtraktion von Brüchen sind diese zuerst gleichnamig zu machen. Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den Nenner beibehält. Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man ihre Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält.

2. Berechnen Sie:
  a) 02a b) 02b
  Ausführliche Lösungen
  a) 02a_l: Bruchmultiplikation
  b) 02b_l: Bruchdivision
  Brüche werden multipliziert, indem Zähler und Nenner miteinander multipliziert werden. Zwei Brüche werden dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert wird.

3. Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem.
  a) 03a b) 03b
  Ausführliche Lösungen
  a) 03a_l
03a_mc_l: Graph von (0|1) 4 EH nach rechts 5 EH nach unten
Der erste Punkt auf der y- Achse ist Py(0|1). Um den zweiten Punkt zu erhalten, geht man 4 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Durch verbinden beider Punkte erhält man den Graphen.
b) 03b_l
03b_mc_l: Graph von (0|5) 1 EH nach rechts 4 EH nach unten
Der erste Punkt auf der y- Achse ist Py(0|5). Um den zweiten Punkt zu erhalten, geht man 1 Einheit nach rechts und 4 Einheiten nach unten. Durch verbinden beider Punkte erhält man den Graphen.

4. Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte folgender linearer Funktionen und zeichnen Sie den Graphen in ein Koordinatensystem.
  a) 04a b) 04b
  Ausführliche Lösungen
  a) 04a_l 04a_mc_l
  b) 04b_l 04b_mc_l

5. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden f(x).
  a) 05a b) 05b
  c) 05c d) 05d
  Ausführliche Lösungen
  a) 05a_l
  b) 05b_l
  c) 05c_l
  d) 05d_l

6. 06_1
06_2
  Ausführliche Lösung
  06_l

7. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden f(x).
  a) 07a
  b) 07b
  c) 07c
  d) 07d
  e) 07e
  f) 07f
  Ausführliche Lösungen
  a) 07a_l
  b) 07b_l
  c) 07c_l
  d) 07d_l
  e) 07e_l
  f) 07f_l

8. Bestimmen Sie den Funktionsterm und die Nullstelle der linearen Funktion f(x) wenn folgende Zusammenhänge bekannt sind:
  08
  Ausführliche Lösung
  08_l: Gerade durch zwei Punkte

9. Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden g1(x) und g2(x). Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem. 09
  Ausführliche Lösung
  09_l 09_mc_l
  Vorgehensweise:
Der Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden. Das bedeutet, die Schnittpunktkoordinaten gelten für beide Funktionsgleichungen. Um die x- Koordinate vom Schnittpunkt zu berechnen, sind beide Geradengleichungen gleich zu setzen. Die Lösung der linearen Gleichung liefert die x- Koordinate. Setzt man die x- Koordinate in einer der beiden Funktionsgleichungen ein, so ist das Ergebnis die y- Koordinate des Schnittpunktes. Damit sind die Koordinaten des Geradebschnittpunktes S eindeutig bestimmt.

10. Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Geraden g1(x). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der zu g1(x) senkrecht verlaufenden Geraden, wenn diese durch den Punkt P1 verläuft. Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie beide Geraden in ein Koordinatensystem.
  10: Senkrechte Gerade durch Punkt
  Ausführliche Lösung
  10_l 10_mc_l: orthogonale Geraden
  Vorgehensweise:
Die Steigung der zu g1(x) senkrechten Geraden ist der negativ- reziproke Wert des Steigungsfaktors der Geraden g1(x). Das bedeutet im Klartext: Die Steigung der zu g1(x) senkrechten Geraden findet man, indem man den Kehrwert ihres Steigungsfaktors bildet und mit -1 multipliziert. Sollte der Steigungsfaktor von g1(x) eine ganze Zahl sein, ist daraus ein Bruch zu bilden, indem man die Zahl mit dem Nenner 1 vesieht. In die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer linearen Funktion trägt man den Steigungsfaktor a12 der zu g1(x) senkrecht verlaufenden Geraden ein. Mit den Koordinaten des vorgegebenen Punktes lässt sich die Konstante a0 berechnen.

11. Ermitteln Sie den Funktionsterm der linearen Funktion f(x), wenn gilt:
  a) 11a b) 11b c) 11c
  Ausführliche Lösungen
  a) 11a_l
  b) 11b_l
  c) 11c_l

12. Die Erzieherinnen und Erzieher im Kindergarten "Kunterbunt" trinken gerne Kaffee der Marke "Brinkmann's Nr. 1". Die Vorratsdose enthält momentan 1,8 kg Kaffeebohnen.Wöchentlich wird 350 g für die Kaffeemaschine benötigt.
  a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf, die diesen Vorgang beschreibt.
  b) Nach welcher Zeit ist der Kaffeevorrat aufgebraucht?
  c) Kaffee soll nachbestellt werden, wenn die Vorratsdose nur noch 400 g enthält.Wann wird das der Fall sein?
  d) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
  Ausführliche Lösungen
  a) 12a_l: Funktionsgleichung für die Abnahme des Kaffeevorrats
Funktionsgleichung für die Abnahme des Kaffeevorrats.
  b) Kaffeevorrat aufgebraucht bedeutet:
12b_l
Nach etwa 5 Wochen ist kein Kaffee mehr vorhanden.
  c) Nur noch 400g Kaffee vorhanden bedeutet:
12c_l
Nach 4 Wochen sind nur noch 400 g Kaffee vorhanden.
  d) 12d_mc_l: Graph für Abnahme des Kaffeebestandes

13. Tobias und Mario arbeiten als Krankenpfleger in einer Rehabilitationsklinik und beziehen das gleiche Grundgehalt. Zur Zeit müssen beide viel Überstunden leisten. Am Monatsende vergleichen sie ihre Gehaltsabrechnungen. Der Bruttolohn von Tobias beträgt 3559 €, der von Mario 3223 €. Tobias hat im laufenden Monat 43 Überstunden, Mario dagegen nur 27 Überstunden geleistet.
  Berechnen Sie das Grundgehalt und die Überstundenpauschale.
  Ausführliche Lösung
  Anzahl der Überstunden: x           Ausgezahlter Bruttolohn f(x)Gegeben sind zwei Wertepaare:
13_l
Das Grundgehalt beträgt 2656 €, die Überstundenpauschale 21 €.

14. Aus 80 kg Zuckerrohr lassen sich 8,5 kg Zucker herstellen. (Ein linearer Zusammenhang zwischen Zuckerrohr und Zucker wird angenommen). Ein Funktionsterm f (x) beschreibt, wie viel kg Zucker man aus x kg Zuckerrohr erhält.
  a) Bestimmen Sie den Funktionsterm f (x).
  b) 14b
  c) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f (x).
  Ausführliche Lösungen
  a) 14a_l
  b) 14b_l
Aus 100 kg Zuckerrohr lassen sich 10,625 kg Zucker gewinnen.
Aus 250 kg Zuckerrohr lassen sich etwa 26,563 kg Zucker gewinnen.
Für 25 kg Zucker benötigt man etwa 235,3 kg Zuckerrohr.
  c) 14c_mc_l: Graph für Zuckergewinnung aus Zuckerrohr