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Mathematischer
Hintergrund
Lineare Funktionen Teil XIV
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06

1. 01
Von einem rechtwinkligen Dreieck, dessen rechter Winkel bei B liegt, sind die Punkte A und C gegeben. Die Seite [BC] des Dreiecks schneidet die Ordinatenachse bei 3. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktionen [AB] = f1 ; [BC] = f2 ; [AC] = f3 der drei Dreieckseiten.
  b) Die Koordinaten des Punktes B.
  c) Die Graphen in D.
  Ergebnisse
  a) 01a_e c) 01c_mc_e: Drei Geraden bilden ein Dreieck
  b) 01b_e
  Ausführliche Lösungen

2. 02
Von einem Dreieck sind die Punkte A und B gegeben. Die Seite [BC] des Dreiecks schneidet die Ordinatenachse bei -12, die Seite [AC] die Abszissenachse bei -3. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktion f1 (x) der Seite [AB].
  b) Die Funktion f2 (x) der Seite [BC].
  c) Die Funktion f3 (x) der Seite [AC].
  d) Die Koordinaten des Punktes C.
  e) Die Graphen der drei Funktionen in D.
  Ergebnisse
  a) 02a_e e) 02e_mc_e: Dreieck gebildet durch drei Geraden
  b) 02b_e
  c) 02c_e
  d) 02d_e
  Ausführliche Lösungen

3. Gegeben sind die Funktionen f1(x) = 3x - 4 und f2(x) = a12x + 3. Die Graphen beider Funktionen schneiden sich im Punkt S ( 3 | 5 ). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f3(x) so, dass der Graph senkrecht zu f2(x) durch den Punkt S verläuft. Zeichnen Sie alle drei Graphen in ein Koordinatensystem.
  Ergebnisse
  03_e 03_mc_e: Drei Geraden schneiden sich in einem Punkt
  Ausführliche Lösungen

4. 04
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird von einer zweiten Geraden mit der Funktion f2 (x) geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Den Schnittpunkt S mit den Koordinaten xs und ys
  b) Die Schnittpunkte beider Geraden mit der y- Achse.
  c) Die Schnittpunkte beider Geraden mit der x- Achse.
  d) Die Graphen beider Funktionen in D.
  Ergebnisse
  a) 04a_e d) 04d_mc_e: Zwei Geraden schneiden sich unter einem rechten Winkel
  b) 04b_e
  c) 04c
  Ausführliche Lösungen

5. Bestimmen Sie die Funktion f2(x) der zu f1 (x) senkrecht verlaufenden Geraden. Der Graph von f2(x) schneidet die y - Achse in Py ( 0 | 3 ). Zeichnen Sie beide Geraden in ein Koordinatensystem.
  a) 05a b) 05b
  c) 05c d) 05d
  Ergebnisse
  a) 05a_e 05a_mc_e: Zwei Geraden verlaufen senkrecht zueinander
  b) 05b_e 05b_mc_e: Senkrechte Geraden
  c) 05c_e 05c_mc_e: Geradenschnittpunkt auf der x- Achse
  d) 05d_e 05d_mc_e: Geradenschnittpunkt im 4. Quadranten
  Ausführliche Lösungen

6. Bestimmen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie den Graphen.
  a) 06a
  b) 06b
  c) 06c
  d) 06d
  Ergebnisse
  a) 06a_e 06a_mc_e: Senkrecht zueinander verlaufende Geraden
  b) 06b_e 06b_mc_e: Zwei Geraden schneiden sich unter spitzem Winkel
  c) 06c_e 06c_mc_e: Geraden schneiden sich unter 90 Grad
  d) 06d_e 06d_mc_e: Zwei Geraden schneiden sich unter stumpfen Winkel
  Ausführliche Lösungen

1. 01
Von einem rechtwinkligen Dreieck, dessen rechter Winkel bei B liegt, sind die Punkte A und C gegeben. Die Seite [BC] des Dreiecks schneidet die Ordinatenachse bei 3. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktionen [AB] = f1 ; [BC] = f2 ; [AC] = f3 der drei Dreieckseiten.
  b) Die Koordinaten des Punktes B.
  c) Die Graphen in D.
  Ausführliche Lösungen
    Planskizze:
01_des_l: Dreueck mit rechtem Woinkel bei B
  a) f3(x) repräsentiert die Seite [AC] und geht durch die Punkte A und C. Gerade durch zwei Punkte.
01a1_l: Gerade durch zwei Punkte
Wie gehe ich vor?
Mit den Koordinaten der beiden vorgegebenen Punkte berechnet man den Steigungsfaktor a13 und trägt ihn in die allgemeine Form der Funktionsgleichung f3(x) ein. Mit den Koordinaten eines der vorgegebenen Punkte lässt sich die Konstante a03 berechnen.
f2(x) repräsentiert die Seite [BC] und geht durch die Punkte C und Py( 0 | 3 ). Gerade durch zwei Punkte.
01a2_l: Berechnung der Geradengleichung bei Vorgabe von zwei Punkten
f1(x) repräsentiert die Seite [AB] , geht durch den Punkt A und verläuft senkrecht zu f2(x). Senkrechte Gerade durch Punkt mit vorgegebener Steigung.
01a3_l: Senkrecht verlaufende Gerade durch einen Punkt
Wie gehe ich vor?
Die Steigung der zu f2(x) senkrechten Geraden f1(x) ist der negativ- reziproke Wert des Steigungsfaktors der Geraden f2(x). Das bedeutet im Klartext: Die Steigung der zu f2(x) senkrechten Geraden findet man, indem man den Kehrwert ihres Steigungsfaktors bildet und mit -1 multipliziert. Sollte der Steigungsfaktor von f2(x) eine ganze Zahl sein, ist daraus ein Bruch zu bilden, indem man die Zahl mit dem Nenner 1 vesieht. In die allgemeine Form der Funktionsgleichung von f1(x) trägt man den Steigungsfaktor a11 der zu f2(x) senkrecht verlaufenden Geraden f1(x) ein. Mit den Koordinaten des vorgegebenen Punktes lässt sich die Konstante a01 berechnen. Statt senkrecht zueinander verlaufende Geraden sagt man auch die Geraden sind orthogonal.
  b) Schnittpunkt von f1(x) mit f2(x) ist der Dreieckspunkt B.
01b_l: Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Dreieckspunkt B
Wie gehe ich vor?
Der Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden. Das bedeutet, die Schnittpunktkoordinaten gelten für beide Funktionsgleichungen. Um die x- Koordinate vom Schnittpunkt zu berechnen, sind beide Geradengleichungen gleich zu setzen. Die Lösung der linearen Gleichung liefert die x- Koordinate vom Geradenschnittpunkt. Setzt man die x- Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, so ist das Ergebnis die y- Koordinate des Schnittpunktes. Damit sind die Koordinaten des Geradebschnittpunktes B eindeutig bestimmt. Es ist egal, in welche der beiden Funktionsgleichungen die x- Koordinate eingesetzt wird. Man sollte die Gleichung nehmen, mit der sich am einfachsten rechnen lässt, z.B. wenn in ihr keine Brüche vorkommen. Soll das Ergebnis kontrolliert werden, so muss die x- Koordinate vom Geradenschnittpunkt in beide Funktionsgleichungen eingesetzt werden. In beiden Fällen muss der Wert der y- Koordinate des Geradenschnittpunktes herauskommen.
  c) 01c_mc_l: Dreieck gebildet aus drei Geraden mit rechtem Winkel im 4. Quadranten

2. 02
Von einem Dreieck sind die Punkte A und B gegeben. Die Seite [BC] des Dreiecks schneidet die Ordinatenachse bei -12, die Seite [AC] die Abszissenachse bei -3. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktion f1 (x) der Seite [AB].
  b) Die Funktion f2 (x) der Seite [BC].
  c) Die Funktion f3 (x) der Seite [AC].
  d) Die Koordinaten des Punktes C.
  e) Die Graphen der drei Funktionen in D.
  Ausführliche Lösungen
    Planskizze:
02_des_l: Drei lineare Funktionen bilden ein Dreieck
  a) f1(x) repräsentiert die Seite [AB] und geht durch die Punkte A und B. Gerade durch zwei Punkte.
02a_l: Gerade durch zwei Punkte
  b) f2(x) repräsentiert die Seite [BC] und geht durch die Punkte B und Py( 0 | -12 ). Gerade durch zwei Punkte.
02b_l: Der zweite Punkt der Geraden ist der y- Abschnitt
  c) f3(x) repräsentiert die Seite [AC] und geht durch die Punkte A und Px( -3 | 0 ). Gerade durch zwei Punkte.
02c_l: Der zweite Punkt der Geraden ist eine Nullstelle
  d) Schnittpunkt von f2(x) mit f3(x) ist der Dreieckspunkt C.
02d_l: Der Schnittpunkt beider Geraden bildet den Dreieckspunkt C
  e) 02e_mc_l: Eckpunkte des Dreiecks liegen im 1. , 3. und 4. Quadranten

3. Gegeben sind die Funktionen f1(x) = 3x - 4 und f2(x) = a12x + 3. Die Graphen beider Funktionen schneiden sich im Punkt S ( 3 | 5 ). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f3(x) so, dass der Graph senkrecht zu f2(x) durch den Punkt S verläuft. Zeichnen Sie alle drei Graphen in ein Koordinatensystem.
  Ausführliche Lösung
  Der Graph der Funktion von f2(x) = a12x + 3 geht durch den Punkt S. Durch Einsetzen der Koordinaten von S erhält man den Steigungsfaktor a12.
031_l: Steigungsfaktor der Geradengleichung berechnen
Der Graph der Funktion von f3(x) verläuft senkrecht zu f2(x) durch den Punkt S. Gerade durch Punkt mit vorgegebener Steigung.
032_l: Gerade durch Punkt mit vorgegebener Steigung
03_mc_l: Drei Geraden schneiden sich in einem Punkt, der im 1. Quadranten liegt

4. 04
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird von einer zweiten Geraden mit der Funktion f2 (x) geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Den Schnittpunkt S mit den Koordinaten xs und ys
  b) Die Schnittpunkte beider Geraden mit der y- Achse.
  c) Die Schnittpunkte beider Geraden mit der x- Achse.
  d) Die Graphen beider Funktionen in D.
  Ausführliche Lösungen
  a) Schnittpunkt von f1(x) mit f2(x). Gleichsetzen beider Funktionsgleichungen
04a_l: Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
  b) Schnittpunkte mit der y- Achse können aus den Funktionsgleichungen abgelesen werden, da ys = f(0) gilt.
04b_l: Schnittpunkt mit der y- Achse
  c) Schnittpunkt mit der x- Achse erhält man dadurch, dass man die Funktionsgleichung Null setzt.
04c_l: Schnittpunkt mit der x- Achse
Wie gehe ich vor?
Den Schnittpunkt mit der x- Achse findet man, indem die Funktionsgleichung Null gesetzt und nach x aufgelöst wird. Der so gefundene x- Wert ist die Nullstelle, an der der Graph die x- Achse schneidet.
  d) 04d_mc_l: Zwei geraden schneiden sich rechtwinklig im 2. Quadranten

5. Bestimmen Sie die Funktion f2(x) der zu f1 (x) senkrecht verlaufenden Geraden. Der Graph von f2(x) schneidet die y - Achse in Py ( 0 | 3 ). Zeichnen Sie beide Geraden in ein Koordinatensystem.
  a) 05a b) 05b
  c) 05c d) 05d
  Ausführliche Lösungen
  a) Der Graph von f2(x) verläuft senkrecht zu f1(x) durch den Punkt Py ( 0 | 3 ).
05a_l: Gerade senkrecht durch Punkt
05a_mc_l: Geradenschnitt senkrecht Schnitt im 2. Quadranten
  b) Der Graph von f2(x) verläuft senkrecht zu f1(x) durch den Punkt Py ( 0 | 3 ).
05b_l: Senkrechte Gerade verläuft durch Py
05b_mc_l: Zwei Geraden schneiden sich senkrecht im 1. Quadranten
  c) Der Graph von f2(x) verläuft senkrecht zu f1(x) durch den Punkt Py ( 0 | 3 ).
05c_l: Zweite Gerade verläuft senkrecht zue 1. durch Py
05c_mc_l: Senkrecht zueinander verlaufende Geraden schneiden sich auf der x- Achse
  d) Der Graph von f2(x) verläuft senkrecht zu f1(x) durch den Punkt Py ( 0 | 3 ).
05d_l: Zwei Geraden verlaufen senkrecht zueinander
05d_mc_l: Zwei Geraden schneiden sich im 4. Quadranten

6. Bestimmen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie den Graphen.
  a) 06a
  b) 06b
  c) 06c
  d) 06d
  Ausführliche Lösungen
  a) Schnittpunkt von f1(x) mit f2(x) berechnen.
06a_l
06a_mc_l
  b) Schnittpunkt von f1(x) mit f2(x) berechnen.
06b_l
06b_mc_l
  c) Schnittpunkt von f1(x) mit f2(x) berechnen.
06c_l
06c_mc_l
  d) Schnittpunkt von f1(x) mit f2(x) berechnen.
06d_l
06d_mc_l