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Mathematischer
Hintergrund
Lineare Funktionen Teil XII
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05

1. 01
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird von einer zweiten Geraden mit der Funktion f2 (x), die durch den Punkt P2 geht, im Punkte S rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Steigung a12 von f2 (x).
  b) Die Funktion f2 (x).
  c) Den Schnittpunkt S der beiden Geraden.
  d) Die Achsenschnittpunkte der beiden Geraden.
  e) Die Graphen der beiden Geraden in D.
  Ergebnisse
  a) 01a_e e) 01e_mc_e: Geraden rechtwinklig
  b) 01b_e
  c) 01c_e
  d) 01d_e
  Ausführliche Lösungen

2. Bestimmen Sie die Funktion f2 (x) der Geraden, die die Abszissenachse im Punkt Px2 schneidet und die von der Geraden mit der Funktion f1 (x) im Punkte S geschnitten wird. Ermitteln Sie die Achsenschnittpunkte beider Geraden und zeichnen Sie die Graphen der beiden Geraden in D.
  a) 02a b) 02b
  Ergebnisse
  a) 02a_e 02a_mc_e: Zwei Graden werden geschnitten
  b) 02b_e 02b_mc_e: Zwei Geraden schneiden sich
  Ausführliche Lösungen

3. 03
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) geht durch die Punkte P1 und P2 und wird im Punkte S rechtwinklig von der Geraden mit der Funktion f2 (x) geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Steigung a11 von f1 (x). b) Die Funktion f1 (x).
  c) Die vollständigen Koordinaten von S. d) Die Steigung a12 von f2 (x).
  e) Die Funktion f2 (x). f) Die Graphen von f1 (x) und f2 (x).
  Ergebnisse
  a) 03a_e f) 03f_mc_e: Zwei Geraden schneiden sich rechtwinklig
  b) 03b_e
  c) 03c_e
  d) 03d_e
  e) 03e_e
  Ausführliche Lösungen

4. 04
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) geht durch die Punkte P1 und P2 und wird im Punkte S rechtwinklig von der Geraden mit der Funktion f2 (x) geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Steigung a11 von f1 (x). b) Die Funktion f1 (x).
  c) Die vollständigen Koordinaten von S. d) Die Steigung a12 von f2 (x).
  e) Die Funktion f2 (x). f) Die Graphen von f1 (x) und f2 (x).
  Ergebnisse
  a) 04a_e f) 04f_mc_e: Gerade rechtwinklig
  b)
  c) 04c_e
  d) 04d_e
  e) 04e_e
  Ausführliche Lösungen

5. 05
Der Graph der Funktion f1 (x) wird im Punkte S vom Graphen der Funktion f2 (x) rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktion f1 (x).
  b) Die Achsenschnittpunkte beider Geraden.
  c) Die Graphen der beiden Funktionen in D.
  Ergebnisse
  a) 05a_e c) 05c_mc_e: Gerade wird rechtwinklig geschnitten
  b) 05b_e
  Ausführliche Lösungen

1. 01
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird von einer zweiten Geraden mit der Funktion f2 (x), die durch den Punkt P2 geht, im Punkte S rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Steigung a12 von f2 (x).
  b) Die Funktion f2 (x).
  c) Den Schnittpunkt S der beiden Geraden.
  d) Die Achsenschnittpunkte der beiden Geraden.
  e) Die Graphen der beiden Geraden in D.
  Ausführliche Lösungen
  a) Da f2(x) senkrecht zu f1(x) verläuft, gilt für deren Steigung:
01a_l: Rechnung Steigungsfaktor senkrechter Geraden
  b) 01b_l: Rechnung Gerade mit Steigung durch Punkt
  c) Geradenschnittpunkt:
01c_l: Rechnung Geradenschnittpunkt berechnen
Wie geh ich vor?
Der Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden. Das bedeutet, die Schnittpunktkoordinaten gelten für beide Funktionsgleichungen. Um die x- Koordinate vom Schnittpunkt zu berechnen, sind beide Geradengleichungen gleich zu setzen. Die Lösung der linearen Gleichung liefert die x- Koordinate vom Geradenschnittpunkt. Setzt man die x- Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, so ist das Ergebnis die y- Koordinate des Schnittpunktes. Damit sind die Koordinaten des Geradebschnittpunktes S eindeutig bestimmt. Es ist egal, in welche der beiden Funktionsgleichungen die x- Koordinate eingesetzt wird. Man sollte die Gleichung nehmen, mit der sich am einfachsten rechnen lässt, z.B. wenn in ihr keine Brüche vorkommen. Soll das Ergebnis kontrolliert werden, so muss die x- Koordinate vom Geradenschnittpunkt in beide Funktionsgleichungen eingesetzt werden. In beiden Fällen muss der Wert der y- Koordinate des Geradenschnittpunktes herauskommen.
  d) Die Achsenschnittpunkte:
01d_l: Rechnung Achsenschnittpunkte von Geraden
Wie gehe ich vor?
Die y- Koordinate von Py lässt sich aus der Funktionsgleichung ablesen. Den Schnittpunkt mit der x- Achse findet man, indem die Funktionsgleichung Null gesetzt und nach x aufgelöst wird. Der so gefundene x- Wert ist die Nullstelle, an der der Graph die x- Achse schneidet.
  e) 01e_mc_l: Zwei Geraden schneiden sich

2. Bestimmen Sie die Funktion f2 (x) der Geraden, die die Abszissenachse im Punkt Px2 schneidet und die von der Geraden mit der Funktion f1 (x) im Punkte S geschnitten wird. Ermitteln Sie die Achsenschnittpunkte beider Geraden und zeichnen Sie die Graphen der beiden Geraden in D.
  a) 02a b) 02b
  Ausführliche Lösungen
  a) x- Koordinate von S bestimmen und f2(x) als Gerade durch 2 Punkte berechnen
02a1_l: Rechnung Gerade durch 2 Punkte
Wie gehe ich vor?
Mit den Koordinaten der beiden vorgegebenen Punkte berechnet man den Steigungsfaktor a12 und trägt ihn in die allgemeine Form der Funktionsgleichung ein. Mit den Koordinaten eines der vorgegebenen Punkte lässt sich die Konstante a02 berechnen.
Achsenschnittpunkte berechnen
02a2_l: Rechnung Achsenschnittpunkte von Geraden
02a_mc_l: Geraden schneiden sich im 2. Quadranten
  b) y- Koordinate von S bestimmen und f2(x) als Gerade durch 2 Punkte berechnen
02b1_l: Gerade durch 2 Punkte berechnen
Achsenschnittpunkte berechnen.
02b2_l: Berechnen der Achsenschnittpunkte zweier Geraden
02b_mc_l: Zwei Geraden schneiden sich im 4. Quadranten

3. 03
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) geht durch die Punkte P1 und P2 und wird im Punkte S rechtwinklig von der Geraden mit der Funktion f2 (x) geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Steigung a11 von f1 (x). b) Die Funktion f1 (x).
  c) Die vollständigen Koordinaten von S. d) Die Steigung a12 von f2 (x).
  e) Die Funktion f2 (x). f) Die Graphen von f1 (x) und f2 (x).
  Ausführliche Lösungen
  a) Berechnung der Steigung von f1(x)
03a_l: Steigungsfaktor wird berechnet
  b) Berechnung der Funktionsgleichung von f1(x)
03b_l: Berechnung der Funktionsgleichung
Wie gehe ich vor?
In die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer linearen Funktion trägt man den Steigungsfaktor a11 ein. Mit den Koordinaten des vorgegebenen Punktes lässt sich die Konstante a01 berechnen.
  c) x- Koordinate von S
03c_l: Schnittpunktkoordinate wird berechnet
  d) Berechnung der Steigung von f2(x)
03d_l: Der Steigungsfaktor wird berechnet
  e) Berechnung der Funktionsgleichung von f2(x)
03e_l: Funktionsgleichung f2(x) wird berechnet
  f) 03f_mc_l: Zwei sich schneidende Geraden

4. 04
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) geht durch die Punkte P1 und P2 und wird im Punkte S rechtwinklig von der Geraden mit der Funktion f2 (x) geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Steigung a11 von f1 (x). b) Die Funktion f1 (x).
  c) Die vollständigen Koordinaten von S. d) Die Steigung a12 von f2 (x).
  e) Die Funktion f2 (x). f) Die Graphen von f1 (x) und f2 (x).
  Ausführliche Lösungen
  a) Berechnung der Steigung von f1(x)
04a_l: Berechnung des Steigungsfaktors
  b) Berechnung der Funktionsgleichung von f1(x)
04b_l: Die Funktionsgleichung wird berechnet
  c) y- Koordinate von S
04c_l: Schnittpunktkoordinate zweier Geraden
  d) Berechnung der Steigung von f2(x)
04d_l: Steigungsberechnung einer senkrechten Geraden
  e) Berechnung der Fubktionsgleichung von f2(x)
04e_l: Gerade durch Punkt bei gegebener Steigung
  f) 04f_mc_l: Geraden schneiden sich rechtwinklig

5. 05
Der Graph der Funktion f1 (x) wird im Punkte S vom Graphen der Funktion f2 (x) rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktion f1 (x).
  b) Die Achsenschnittpunkte beider Geraden.
  c) Die Graphen der beiden Funktionen in D.
  Ausführliche Lösungen
  a) Der Graph von f1(x) verläuft rechtwinklig zu f2(x) durch den Punkt S( 3/2 | 3/2 )
05a_l: f1(x) verläuft senkrecht zu f2(x)
Wie gehe ich vor?
Die Steigung der zu f2(x) senkrechten Geraden f1(x) ist der negativ- reziproke Wert des Steigungsfaktors der Geraden f2(x). Das bedeutet im Klartext: Die Steigung der zu f2(x) senkrechten Geraden findet man, indem man den Kehrwert ihres Steigungsfaktors bildet und mit -1 multipliziert. Sollte der Steigungsfaktor von f2(x) eine ganze Zahl sein, ist daraus ein Bruch zu bilden, indem man die Zahl mit dem Nenner 1 vesieht. In die allgemeine Form der Funktionsgleichung von f1(x) trägt man den Steigungsfaktor a11 der zu f2(x) senkrecht verlaufenden Geraden f1(x) ein. Mit den Koordinaten des vorgegebenen Punktes lässt sich die Konstante a01 berechnen. Statt senkrecht zueinander verlaufende Geraden sagt man auch die Geraden sind orthogonal.
  b) Achsenschnittpunkte
05b_l: Achsenschnittpunkte von Geraden
  c) 05c_mc_l: Geraden orthogonal