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Mathematischer
Hintergrund
Ergebnisse und ausführliche Lösungen
zur Dreisatzrechnung I
als Vorbereitung auf die Abschlussprüfung nach Klasse 10.

Erklärungen zu diesem Thema bei Serlo




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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08

1. Ergebnis:
  Je mehr Kisten, desto mehr Euro (proportional).
Für 87 Kisten Fanta muss man 696 Euro zahlen.
  Ausführliche Lösung

2. Ergebnis:
  Je mehr Arbeiter, desto weniger Zeit (antiproportional).
10 Arbeiter brauchen für den Graben 3,5 Tage.
  Ausführliche Lösung

3. Ergebnis:
  Je weniger Schrauben, desto weniger Zeit (proportional).
Für 1500 Schrauben braucht die Maschine 18 Minuten.
  Ausführliche Lösung

4. Ergebnis:
  Je weniger Tage, desto mehr Pferde (antiproportional).
Für 15 Pferde würde der Futtervorrat 80 Tage reichen.
  Ausführliche Lösung

5. Ergebnis:
  Je weniger Schüler, desto mehr Tage (antiproportional).
Je mehr Nudeln, desto mehr Tage (proportional).
Die Freizeit kann um 6 Tage verlängert werden.
  Ausführliche Lösung

6. Ergebnis:
  Je weniger m2, desto weniger kg (proportional).
Je weniger mm, desto weniger kg (proportional).
Das Kupferblech wiegt 53,5 kg.
  Ausführliche Lösung

7. Ergebnis:
  Je mehr Leitungen, desto weniger Zeit (antiproportional).
Je weniger Liter/h, desto mehr Füllzeit (antiproportional).
Zur Füllung des Wasserbeckens würde man 7,5 Stunden brauchen.
  Ausführliche Lösung

8. Ergebnis:
  Je mehr m Mauer, desto mehr Arbeiter (proportional).
Je mehr Stunden/Tag, desto weniger Arbeiter (antiproportional).
Je mehr Tage, desto weniger Arbeiter (antiproportional).
Für die 120 m lange Mauer benötigt man 4 Arbeiter.
  Ausführliche Lösung

1. Ein Getränkemarkt verkauft für ein Fest 65 Kisten Fanta für 520 Euro.
Wie viel muss man für 87 Kisten zahlen, wenn es keinen Rabatt gibt?
  Ausführliche Lösung
  Überlegung: Die gesuchte Größe ist der Preis für 87 Kisten Fanta.

01_l: Dreisatz proportional

Beim Dreisatz geht man stets in drei Schritten (Sätzen) vor:

1. Satz: Bekanntes Verhältnis: 65 Kisten kosten 520 Euro.
2. Satz: Schluss auf die Einheit: Eine Kiste kostet den 65. Teil.
3. Satz: Schluss auf die gesuchte Mehrheit: 87 Kisten kosten 87 mal soviel.

Daraus entsteht zur Rechnung ein Bruch, bei dem der Ausgangswert (hier 510 Euro) im Zähler steht.
Teil steht im Nenner (hier 65),
mal steht im Zähler (hier 87).

Zuvor sollte man sich immer überlegen, welche Größe gesucht wird und ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist.

Lösung: Für 87 Kisten Fanta muss man 696 Euro zahlen.

2. 7 Arbeiter heben einen Graben in 5 Tagen aus.
Wie lange würden 10 Arbeiter brauchen?
  Ausführliche Lösung
  Überlegung: Die gesuchte Größe ist die Zeit, die 10 Arbeiter brauchen.

02_l: Dreisatz antiproportional

Lösung: 10 Arbeiter würden für den Graben 3,5 Tage brauchen.

3. Eine Maschine fertigt in 30 Minuten 2500 Schrauben.
Wie lange braucht sie für 1500 Schrauben?
  Ausführliche Lösung
  Überlegung: Die gesuchte Größe ist die Zeit, die die Maschine für die Herstellung von 1500 Schrauben benötigt.

03_l

Zur Herstellung von 1500 Schrauben benötigt die Maschine 18 Minuten.

4. Der Futtervorrat reicht für 5 Pferde 240 Tage.
Für wie viele Pferde würde er 80 Tage reichen?
  Ausführliche Lösung
  Überlegung: Die gesuchte Größe ist die Anzahl der Pferde, für die der Futtervorrat 80 Tage reichen würde.

04_l

Lösung: Für 15 Pferde würde der Futtervorrat 80 Tage reichen.

5. In einem Zeltlager sind für 30 Jugendliche für die nächsten 10 Tage 60 kg Nudeln vorgesehen.
Um wie viel Tage kann die Freizeit verlängert werden, wenn 5 Jugendliche weniger erscheinen und insgesamt 80 kg Nudeln vorhanden sind?
  Ausführliche Lösung
  Überlegung: Die gesuchte Größe ist die Anzahl der Tage, die 25 Schüler mit 80 kg Nudeln auskommen.

05_l: Einfach verschachtelter Dreisatz

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um einen verschachtelten Dreisatz.
Zuerst erfolgt der Schluss von 30 Schüler auf 25 Schüler (antiproportional).
Danach der Schluss von 60 kg Nudeln auf 80 kg (proportional).
Dabei ist es wichtig, die Reihenfolge einzuhalten und nicht zwei Größen gleichzeitig zu verändern.
Man kann den Dreisatz auch verkürzt darstellen, solange der Zusammenhang der Größen dabei einsichtig ist.

Lösung: 25 Schüler kommen mit 80 kg Nudeln 16 Tage aus. Damit kann die Freizeit um 6 Tage verlängert werden.

6. Ein 5 m2 großes Kupferblech, 3 mm dick, wiegt 133,8 kg.
Wie viel wiegt ein 2 mm dickes Kupferblech, das eine Fläche von 3 m2 hat?
  Ausführliche Lösung
  Überlegung: Die gesuchte Größe ist das Gewicht eines Kupferbleches mit der Fläche 3 m2 und einer Dicke von 2 mm.

06_l: Verschachtelter Dreisatz, proportional, proportional

Lösung: Das Kupferblech wiegt 53,52 kg.

7. Ein Wassertank wird durch 3 gleiche Leitungen in 6 Stunden gefüllt, wenn jede stündlich 500 Liter Wasser liefert.
Wie lange würde man mit 4 Leitungen brauchen, wenn jede stündlich nur 300 Liter Wasser liefert?
  Ausführliche Lösung
  Überlegung: Die gesuchte Größe ist die Zeit, in der mit 4 Leitungen, die jede stündlich 300 Liter Wasser liefern, das Becken gefüllt werden kann.

07_l: Verschachtelter Dreisatz, antiprop, antoprop

Lösung: 4 Leitungen mit 300 Liter/h füllen den Wassertank in 7,5 Stunden.

8. Eine 80 m lange Mauer wird von 3 Arbeitern in 6 Tagen hochgezogen, wenn sie täglich 8 Stunden arbeiten.
Wie viel Arbeiter benötigt man, um eine 140 m lange Mauer in 7 Tagen hochzuziehen, wenn die tägliche Arbeitszeit auf 9 Stunden erhöht wird?
  Ausführliche Lösung
  Überlegung: Die gesuchte Größe ist die Anzahl der Arbeiter, die eine 140 m lange Mauer in 7 Tagen bei einer täglichen Arbeitszeit von 9 Stunden hochziehen.

08_l: Zweifach verschachtelter Dreisatz

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um einen zweifach verschachtelten Dreisatz.
Zuerst erfolgt der Schluss von 80 m auf 140 m Mauer (proportional).
Danach der Schluss von 8 h täglicher Arbeitszeit auf 9 h (antiproportional).
Zuletzt der Schluss von 6 Tage auf 7 Tage (antiproportional).

Lösung: 4 Arbeiter werden benötigt um eine 140 m lange Mauer in 7 Tagen bei 9 Stunden täglicher Arbeitszeit hochzuziehen.

  Ergänzungen zur Dreisatzrechnung:
  Proportionale und antiproportionale Zuordnungen zweier Größen lassen sich mit dem Lösungsschema Dreisatzrechnung bestimmen. Bei mehr als zwei Größen handelt es sich um einen verschachtelten Dreisatz.
  Proportionale Zuordnung:
Wenn zwei Größen im gleichen Verhältnis zu- oder abnehmen, spricht man von einer proportionalen Zuordnung.
- Je mehr km ein Auto fährt, desto mehr Benzin benötigt es.
- Je weniger am Tag gearbeitet wird, desto weniger Lohn erhält man.
Anders ausgedrückt:
- Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen Größe.
- Zur Hälfte der einen Größe gehört die Hälfte der anderen Größe.
  Antiproportionale Zuordnung:
Wenn zwei Größen im umgekehrten Verhältnis zu- oder abnehmen, spricht man von einer antiproportionalen Zuordnung.
- Je mehr Arbeiter für eine bestimmte Arbeit zur Verfügung stehen, desto weniger Zeit ist erforderlich.
- Je langsamer ich fahre, desto mehr Zeit benötige ich für eine bestimmte Strecke.
Anders ausgedrückt:
- Zum Doppelten der einen Größe gehört die Hälfte der anderen Größe.
- Zur Hälfte der einen Größe gehört das Doppelte der anderen Größe.